Hay varios defendible interpretaciones de la cuestión, dependiendo de cómo la "disposición aleatoria" se lleva a cabo.
Como multinomial problema
Las bolas rojas determinar $n=15$ espacios ("slots") entre ellos. Supongamos que se llenan equiprobably y de forma independiente por el $k=10$ bolas de color azul. $X$ cuenta el número de ranuras de llenado con exactamente una bola azul.
Para encontrar la expectativa de $X$, considere la posibilidad de una única ranura. Deje $X_i$ ser el indicador de que el evento de que la ranura tiene exactamente una bola azul. Debido a que el recuento de las bolas de color azul en la ranura ($Y_i$) tiene un Binomio$(k, 1/n)$ distribución,
$$\mathbb{E}(X_i) = \Pr(X_i = 1) = \Pr(Y_i=1) = \binom{k}{1}\frac{(n-1)^{k-1}}{n^k} = \frac{k}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{k-1}.$$
Whence, by linearity of expectation,
$$\mu_1 = \mathbb{E}(X) = \mathbb{E}\left(\sum_iX_i\right) = \sum_i\mathbb{E}(X_i) = n\mathbb{E}(X_i) = k\left(1-\frac{1}{n}\right)^{k-1}.$$
To find the variance we will need to obtain the expectation of
$$X^2 = \left(\sum_i X_i\right)^2 = \sum_i \left(X_i\right)^2 + \sum_{i\ne j}X_iX_j = X + \sum_{i\ne j}X_iX_j.$$
(The last equality follows from $X_i^2 = X_i$.) All terms in the last sum have identical distributions. Consider one of them:
$$\mathbb{E}(X_iX_j) = \Pr(X_iX_j=1) = \Pr(Y_i=1,\, Y_j=1).$$
The latter is the event that one ball lands in slot $i$, another in slot $j$, and the remaining $k-2$ balls in the remaining $n-2$ slots. This is a multinomial probability given by
$$ \Pr(Y_i=1,\, Y_j=1) = \binom{k}{1,1,k-2} \frac{(n-2)^{k-2}}{n^k} = \frac{1}{n^2}k(k-1)\left(1-\frac{2}{n}\right)^{k-2}.$$
Because there are $n(n-1)$ distinct ordered pairs $(i,j)$, we obtain
$$\mu_2 = \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(X) + n(n-1)\mathbb{E}(X_iX_j) = \mu_1 + k(k-1)\left(1-\frac{2}{n}\right)^{k-2}\left(1-\frac{1}{n}\right).$$
The variance of $X$ is, as usual,
$$\text{var}(X) = \mu_2 - \mu_1^2.$$
For $k=10, n=15$ compute that $\mathbb{E}(X) = \mu_1 = 5.374412$ and $\text{var}(X) = 3.226079$.
As a permutation problem
Suppose instead that all $(n+k)!$ possible permutations of the balls in the circle are equiprobable. Let $\mathcal{P}$ be the $n+k$ positions indexed by the integers modulo $n+k$. As a matter of notation, let $\text{red}(i)$ be the event there is a red ball at position $i$ and $\text{blue}(i)$ be the event there is a blue ball at position $i$.
This time let's make a position-centric analysis rather than one from the point of view of the blue balls: for each $i\in\mathcal{P}$, let $X_i$ be the indicator that a blue ball is at position $i$ and red balls are situated at positions $i-1$ and $i+1$. The chance that $X_i=1$ is readily found by multiplying a succession of conditional probabilities:
$$\eqalign{
\mathbb{E}(X_i=1) &= \Pr(X_i=1) \\
&= \Pr(\text{rojo}(i-1))\Pr(\text{blue}(i)|\text{rojo}(i-1))\Pr(\text{rojo}(i+1)|\text{blue}(i), \text{rojo}(i-1)) \\
&= \frac{n}{n+k}\frac{k}{n+k-1}\frac{n-1}{n+k-2} \\
&= \frac{n^{(2)} k^{(1)}}{(n+k)^{(3)}}.
}$$
Here, $a^{(j)}=a(a-1)\cdots(a-j+1)$ denotes the factorial power.
As before, additivity of expectation implies
$$\mu_1 = \mathbb{E}(X) = (n+k)\mathbb{E}(X_0) = \frac{n^{(2)} k^{(1)}}{(n+k-1)^{(2)}}.$$
To obtain the variance we will need to compute the expected products $\mathbb{E}(X_iX_j)$. These involve four distinct configurations:
$i=j$. There are $n+k$ of these, each contributing $\mathbb{E}(X_i^2) = \mathbb{E}(X_i)$ to the second moment. The total contribution therefore is $\mu_1$.
$|i-j|=1$: es decir, $i$ e $j$ son vecinos inmediatos en el círculo. (La notación $|a|$ se refiere a la distancia alrededor del círculo, que puede ser calculada como $\min\{|\pm a + j(n-k)|: j\in\mathbb{Z}\}.$) En este caso es imposible que $X_i$ e $X_j$ igualdad $1$, por lo que la contribución total es cero.
$|i-j|=2$. Estas son las configuraciones de la forma roja-azul-rojo-azul-rojo. Razonando como antes (con cadenas de probabilidades condicionales), cada configuración tiene una expectativa de $n^{(3)} k^{(2)}/(n+k)^{(5)}$. Hay $2(n+k)$ pares ordenados $(i,j)$ con esta relación, donde la contribución es
$$2\frac{n^{(3)} k^{(2)}}{(n+k-1)^{(4)}}.$$
(Este valor se toma como cero cada vez que $n+k\lt 4$, con el mismo convenio para la celebración de todas las expresiones similares, a continuación.)
$|i-j|\gt 2$. Estas son las configuraciones de la forma roja-azul-rojo...rojo-azul-rojo. Hay $(n+k)(n+k-5)$ estos pares ordenados, dando una contribución
$$\frac{n^{(4)} k^{(2)}}{(n+k-1)^{(4)}}.$$
En consecuencia, la varianza es
$$\text{var}(X) = \mu_1 + 2\frac{n^{(3)} k^{(2)}}{(n+k-1)^{(4)}} + \frac{n^{(4)} k^{(2)}}{(n+k-1)^{(4)}} - \mu_1^2.$$
With $n=15$ and $k=10$ we obtain $\mu_1 = 175/46\aprox 3.80435$, $\mu_2 = 4375/253$, and the variance is $65625/23276\aprox 2.81943.$ Estos resultados coinciden con los presentados en la pregunta.
La verificación de los resultados
Hay varias formas de comprobar estos resultados, incluyendo la simulación y la enumeración exhaustiva. Para ilustrar la simulación, aquí es una revisión de la multinomial resultados. (La plataforma es R.)
n <- 15 # Slots
k <- 10 # Balls
n.iter <- 10^5 # Simulation length
set.seed(17)
x <- replicate(n.iter, sum(1 == table(sample.int(n, k, replace=TRUE))))
cat("Mean =", round(mean(x), 3), "Var =", round(var(x), 3))
La salida es
Media = 5.367 Var = 3.2
acordar estrechamente con el análisis multinomial.
Aquí es un cálculo de la distribución completa de la $X$ en el caso de permutación. (La plataforma Mathematica.)
neighbors[s_List, n_] :=
Total[(Boole[Mod[#, n] != 0] & /@ (RotateRight[s] - (s - 1)))
(Boole[Mod[#, n] != 0] & /@ (RotateLeft[s] - (s + 1)))];
With[{n = 15, k = 10}, Tally[neighbors[#, n + k] & /@
Subsets[Range[n + k], {k}]]]
{{0, 40380}, {1, 205100}, {2, 495950}, {3, 709800}, {4, 775775}, {5, 500500},
{6, 375375}, {7, 85800}, {8, 75075}, {10, 5005}}
Es decir, hay una probabilidad de $40380/\binom{25}{10}$ que $X=0$, una probabilidad de $205100/\binom{25}{10}$ que $X=1$, y así sucesivamente.
La expectativa es $\mu_1=(0\times 40380 + 1\times 205100 + \cdots + 10\times 5005)/\binom{25}{10} = 175/46$ y el segundo momento, y se calculan de manera similar, se $\mu_2 = 4375/253$, de acuerdo con el análisis.
