Tengo muy poco conocimiento de cómo funcionan las funciones complejas, pero me preguntaba si alguien podría mostrar a qué se simplifica la suma de la función zeta cuando $s$ es el primer cero no trivial de la función zeta de Riemann, $\zeta(s)$ .
En otras palabras, mostrar cómo se obtiene 0 al enchufar el primer cero no trivial de la función zeta en la función zeta.
Esto es una extensión de la respuesta de @Dietrich.
La convergencia de la suma anterior, utilizando la zeta alternante (o "eta de Dirichlet"), basada en los términos de la serie puede mejorarse mucho utilizando la suma de Euler a algún orden. Para mi propio ejercicio con esto he hecho un archivo excel para experimentar con ello y muestro aquí un par de imágenes que ilustran el poder de aceleración de la suma de Euler, cuando incluso su orden puede ser adaptado óptimamente a órdenes fraccionarios o complejos.
Con la suma/aceleración de Euler en principio se calcula la serie de Dirichlet finitamente truncada con algunos coeficientes de ponderación $e_n(o,t)$ que vienen determinados por el orden de la suma de Euler. Esto puede aproximar el resultado final mucho mejor que la serie "no acelerada" con el mismo número de términos.
Llamar al número de términos utilizados t entonces obtenemos la aproximación $$ \eta(z)=\lim_{t\to \infty} \sum_{n=1}^t e_n(o,t) {(-1)^{n-1}\over n^z} \tag 1$$ donde el $e_n(o,t)$ son los coeficientes por el procedimiento de suma de Euler de orden $o$ para el número de términos $t$ . Entonces, incluso en la primera raíz no trivial $z=\rho_0$ necesitamos pocos términos de las sumas parciales para "ver/extrapolar el resultado" .
Para las trayectorias de las sumas parciales $s_n$ simplemente calculamos lo anterior (1) con el mismo orden $o$ a un número creciente $t$ de los términos : $$ s_t=\sum_{n=1}^t e_n(o,t) {(-1)^{n-1}\over n^z} \tag 2$$ y la trayectoria viene dada entonces por la secuencia $s_1,s_2,s_3,...,s_{48}$
Esta es la imagen de la trayectoria de las sumas parciales en el plano complejo sin cualquier suma de Euler (o $o=0$ ) primero. La trayectoria comienza en $s_1=1+0i$ que es la suma parcial utilizando sólo el primer término, luego procede a lo largo de la línea azul de punto a punto para llegar finalmente a $s_\infty=0+0i$ (actualización: upps, veo que tengo el argumento en las fotos la carta $s$ que debe ser $z$ para esta discusión aquí porque $s$ denota aquí las sumas parciales, perdón)
Vemos la espiral alrededor del valor final esperado de $0+0i$ y necesitamos que cientos de términos se acerquen a sólo tres o cuatro dígitos decimales.
La suma de Euler con los coeficientes de ponderación puede mejorar mucho esta imagen.
Aquí está el mismo cálculo, pero con un pequeño orden de Euler $o=0.1$ y el número de términos $t=48$ : 
Obviamente, la convergencia al valor final parece mucho más rápida e incluso más suave.
Un orden superior de Eulersumación ( $o=0.5$ ) lo mejora aún más:
¡Esto da incluso la idea, de que la espiral puede ser derrotada!
Aquí está el detalle alrededor del origen, donde reescalé la distancia absoluta al origen logarítmicamente para que veamos, que la espiral incluso parece detenerse después de sólo 32 más o menos términos de las sumas parciales (pero esto podría ser un artefacto numérico aquí).
La Eulersummation estándar utiliza el orden $o=1$ y esto da esta impresión:
lo que no supone una gran mejora (si es que la hay). En el reescalado logarítmico alrededor del origen no tenemos más artefactos, pero aún podemos observar que las longitudes de los arcos por paso parecen disminuir. 
Finalmente, parece que existe un orden de Euler "óptimo", pero que es incluso complejo. Tengo la impresión de que $o=0.5 - 0.3i$ es, en cierto sentido, óptima: los pasos finales de la 48 -parecen acercarse al valor final en una curva casi lineal:
y el detalle alrededor del origen (aquí sólo ampliado) parece muy prometedor: 
Del mismo modo, esto puede utilizarse para trabajar con la suma para las raíces no triviales con mayor valor imaginario - y también para los argumentos $\eta(z)$ con una parte real más pequeña (e incluso negativa).
La serie $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$ sólo es válido para $Re (s)>1$ por lo que no es posible utilizar esta serie en $s=\rho$ , donde $\rho=\frac{1}{2}+it_0$ es un cero no trivial. Tenemos que utilizar una continuación analítica, véase Cuál es la continuación analítica de la función zeta de Riemann . Una forma, para $Re(s)>0$ , excepto en el caso de $s=1$ es $$ \zeta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}, $$ véase Ceros de la función zeta y continuación analítica .
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Esto es un poco como preguntar cómo se obtiene el cero cuando se enchufa $\pi$ en la serie de potencias para $\sin x$ .
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@mrf: ¿De verdad? La definición en serie de la función zeta no converge al enchufar un $s$ con $\Re(s) < 1$ . Para ello hay que utilizar alguna representación de la continuación analítica, que normalmente es una ecuación funcional creo.
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@DanielR Por eso dije un poco . Pero incluso el $\sin$ -variante parecen bastante poco útiles para hacer por la manipulación directa de la serie (convergente). Hacerlo por $\zeta$ parece aún menos útil.