Sea $(R,\mathfrak m,k)$ sea un anillo local de profundidad $d$ y $u:F_1\rightarrow F_0$ un homomorfismo de módulos libres finitos tal que $\operatorname{Im}u\subset \mathfrak mF_0$ . Entonces este mapa induce el mapa cero $$\mathrm{Ext}^d(k,F_1)\rightarrow\mathrm{Ext}^d(k,F_0).$$ ¿Podría explicarme por qué?
Respuesta
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user29768
Puntos
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Tomemos una secuencia regular de longitud $d$ en el ideal máximo $\mathfrak m$ . Entonces $\mathrm{Ext}^d_k(k,F_0)\cong\mathrm{Hom}_{\bar{R}}(k,\bar{F}_0)$ donde la barra denota el módulo cociente por la secuencia regular. Pero $$\mathrm{Hom}_{\bar{R}}(k,\bar{F}_0)=(0:\mathfrak m)_{\bar{F}_0},$$ así que el mapa $u$ induce un mapa de zócalos $(0:\mathfrak m)_{\bar{F}_1}\rightarrow (0:\mathfrak m)_{\bar{F}_0}$ pero como el mapa $u$ es mínima, la matriz asociada a $u$ tiene todas las entradas en $\mathfrak m$ por lo que el mapa inducido en los zócalos es cero.
