Tratar de mostrar a $X$ es un buen colector de

Question

Vamos $u = (u_1,u_2,u_3)$, $v = (v_1,v_2,v_3)$ y

$$X = \{(u,v) \in \mathbb{R^3} \times \mathbb{R^3} \mid u_1^2+u_2^2+u_3^3=1, v_1^2+v_2^2-v_3^2=1, u \cdot v=0 \}$$

A continuación, se $X$ un suave colector?

Lo que tengo en mente es intentar aplicar regular teorema del valor.

Así, vamos a $F:\mathbb{R^6} \rightarrow \mathbb{R^3}$ se define por

$$F(u,v) = (u_1^2+u_2^2+u_3^3,v_1^2+v_2^2-v_3^2,u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)$$

$$DF = \left( \begin{array}{ccc} 2u_1 & 2u_2 & 2u_3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2v_1 & 2v_2 & -2v_3 \\ v_1&v_2&v_3&u_1&u_2&u_3 \end{array} \right) $$

Sé que $F(u',v')$ va a ser un habitual de valor al $DF|_{(u',v')}$ tiene rango completo (es decir,$\text{rank}(DF) = 3$). Pero no sé cómo demostrar que. No es tan largo como ninguno de la fila cero entradas, la matriz tiene rango completo? (Es decir, que mientras $u \neq 0$ o $v \neq 0$)

Answer 1

Para la matriz a tiene rango completo, es necesario que ninguna fila, todos han cero entradas, pero normalmente eso no es suficiente. Para un $3 \times 6$ matriz como este, lo que es necesario y suficiente es que las filas sean linealmente independientes, lo que significa que si $c_1,c_2,c_3$ son constantes y si $$c_1 (\text{Fila 1}) + c_2 (\text{Fila 2}) + c_3 (\text{Fila 3})=(0,0,0,0,0,0) $$ a continuación,$c_1=c_2=c_3=0$.

Por lo que se puede demostrar que esto es cierto (utilizando, por supuesto, la suposición de que $F(u,v)=(1,1,0)$ )?

Answer 2

$Y: = \{ (u,v)\in \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3 \mid |u|=1,\ v_1^2+v_2^2-v_3^2 =1\} $

Claramente $ Y$ es un buen colector, es decir, $S^2(1)$-paquete de más de $ H:= \{ v_1^2+v_2^2-v_3^2 =1 \}$.

$ v\in H\Rightarrow v\neq 0$ Es decir, la condición de $u\cdot v=0$ implica que $X$ es $S^1(1)$-paquete de más de $H$.