Comprender la relación de fibonacci en las plantas

Question

Recientemente, un niño de 13 años ha vuelto a descubrir que existe una proporción mágica para la ramificación en las plantas. El siguiente artículo describe su trabajo con sus propias palabras.

http://www.amnh.org/nationalcenter/youngnaturalistawards/2011/aidan.html

En 1754, un naturalista llamado Charles Bonnet observó que las plantas brotan ramas y hojas siguiendo un patrón, llamado filotaxis. Bonnet vio que las ramas y hojas de los árboles tenían un patrón matemático en espiral que podía mostrarse como una fracción. Lo sorprendente es que las fracciones matemáticas fracciones matemáticas eran los mismos números que la secuencia de Fibonacci. En el roble árbol, la fracción de Fibonacci es 2/5, lo que significa que la espiral tarda cinco ramas en girar dos veces alrededor del tronco para completar un patrón. Otros árboles con la disposición Fibonacci de las hojas son el olmo (1/2); el haya (1/3); el sauce (3/8) y el almendro (5/13) (Livio, Adler).

Me cuesta entender la afirmación destacada. Dice que la fracción de fibonacci para 2/5 significa que la espiral necesita cinco ramas para dar dos vueltas alrededor del tronco.

Implica, Ángulo entre cada rama es 720/5 = 144 grados.

Pero el chico dice,

El patrón era de unos 137 grados y la secuencia de Fibonacci era de 2/5.

¿Qué es lo que no entiendo?

Answer 1

El artículo da a entender que, asintóticamente la espiral toma $F_n$ (el $n$ -th Número de Fibonacci ) ramas para ir $F_{n+2}$ veces alrededor del tronco del árbol. La fracción $2/5$ es sólo una primera aproximación a este fenómeno (las otras aproximaciones citadas son $1/2,1/3,3/8,5/13$ ). La relación límite es $1/\phi^2$ donde $\phi$ es el proporción áurea $(1+\sqrt{5})/2$ . Por lo tanto, el ángulo de rotación entre las ramas debe ser aproximadamente $360^\circ / \phi^2\approx137.507764^\circ$ .

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Para ver por qué el cociente es el que es, definamos primero que el cociente de números de Fibonacci sucesivos, en el límite, es $$\phi = \lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}.$$

(Dejaremos de lado la cuestión de por qué existe este límite, es decir, por qué los números de Fibonacci muestran un crecimiento exponencial). Entonces, por la definición de recurrencia de los números de Fibonacci, tenemos

$$\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{F_n+F_{n-1}}{F_n}=1+\left(\frac{F_n}{F_{n-1}}\right)^{-1}\to1+\phi^{-1}.$$

Por lo tanto $\phi$ resuelve la ecuación $x=1+1/x$ . Esto se puede multiplicar por la ecuación cuadrática $$x^2-x-1=0.$$

La proporción áurea $\phi$ debe ser la solución positiva, $(1+\sqrt{5})/2$ . Ahora tenga en cuenta que $$\frac{F_n}{F_{n+2}}=\left(\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}\right)^{-1}\cdot\left(\frac{F_{n+1}}{F_n}\right)^{-1}\to\phi^{-1}\cdot\phi^{-1}=1/\phi^2.$$