Cuántos límite de puntos en $\{\sin(2^n)\}$? Cuántos puede haber en una secuencia general?

Question

Análisis de la pregunta - dada una secuencia $\{a_n\}_{n=1}^\infty$, ¿cuántas límite de puntos de $\{a_n\}$ tienen? Inicialmente pensé que sólo $\aleph_0$, o countably muchos, porque sólo hay countably muchos términos de una secuencia.

Pero entonces pensé en la secuencia donde $a_n = \sin(2^n)$, que tiene este aspecto para los 1.000 primeros términos.

Esta secuencia no tiene la repetición de términos, o de lo $\pi$ es racional. Sin embargo, yo no creo que cada número real en $[0,1]$ aparece en esta secuencia, como la continuación de los reales son contables, una conclusión absurda. No me sorprendería si esta secuencia tiene límite de puntos, pero ¿cuántos? Yo inmediatamente no ve razón alguna por la $\sin(2^n)\notin (r-\epsilon,r+\epsilon)\subset[0,1]$, para $n$ lo suficientemente grande, porque $r$ es arbitrario. Esto parece implicar que esta secuencia podría tener cada punto en $[0,1]\subset \mathbb R$ como un punto límite, que algo que me asusta. Así,

• Cuántos límite de puntos $\{\sin(2^n)\}_{n=1}^\infty$ tienen?

Y en general,

• Cuántos límite de puntos de una secuencia con countably muchos términos tienen? ¿Qué es un ejemplo de una secuencia con el número máximo de límite de puntos?

Realmente me gustaría ver una prueba de la respuesta a esta última afirmación. Puedo fácilmente una secuencia de con $\aleph_0$ límite de puntos, pero no puedo demostrar que es el límite superior.

Gracias por la ayuda y consejos sobre este tema.

Answer 1

No es un simple argumento para mostrar que $\exp(2^n i)$ es denso en el círculo unidad en $\mathbb{C}$: supongamos que, por cualquier $n$ lo suficientemente grande, $\exp(2^n i)$ no pertenece a un determinado intervalo de $I$ en el círculo unidad. Entonces, para cualquier $n$ lo suficientemente grande, la secuencia no pertenecen a $$I^2 = \left\{z^2:z\in I\right\},$$ ni a $I^{2^k}$ cualquier $k\in\mathbb{N}$. Esta es claramente una contradicción, ya que $$\mu(I^2)= 2\cdot\mu(I).$$ Este argumento muestra de inmediato que la secuencia de $\sin(2^n)$ es denso en $[-1,1]$.

Answer 2

El positivo racionales son numerables. lo que significa que hay una secuencia $x_n$ que incluye cada uno. El conjunto de límite de puntos de esta secuencia es el todo real positivo de la línea. Voy a ver si me puede sacar una foto para el orden, este es el estándar de la diagonal de ida y vuelta la cosa.

Oh, bien. Es como el Cantor de emparejamiento de función, excepto cada par $(x,y)$ es considerado como el número racional $\frac{x}{y}$ al $y \neq 0,$ más que ignorar cualquier par donde $\gcd (x,y) > 1$ porque ya se ha representado la fracción en su mínima expresión.