Por lo que los números no $\lim_{n\to\infty}\sin(2\pi xn!)$ convergen

Question

Para cualquier número real $x\in\mathbb R$, cuando hace el siguiente límite convergen? $$ \lim_{n\to\infty}\sin(2\pi xn!) $$ Para $\frac{p}{q}=x\in\mathbb Q$ converge a $0$ porque para cualquier suficientemente grande $n:xn!\in\mathbb N$ y luego llegamos $\sin$ de un conjunto de multiplicar $2\pi$. (en realidad, usted puede tomar $\pi$, no $2\pi$.)
Mi pregunta es, ¿hay alguna $x\in\mathbb{R-Q}$ de manera tal que el límite converge?
¿Qué acerca de la $x\in\mathbb C$?

Answer 1

Mi amigo encontró una partícula respuesta, converge para $e$. para $x\in[0,1]$: $$ e^x=\sum_{i=0}^n\frac{x^i}{i!}+\frac{C^{n+1}}{(n+1)!},C\in[0,1]\\ e=\sum_{i=0}^n\frac{1}{i!}+\frac{C^{n+1}}{(n+1)!}\\ e-\sum_{i=0}^n\frac{1}{i!}=\frac{C^{n+1}}{(n+1)!}\\ 2\pi n!e-\sum_{i=0}^n\frac{2\pi n!}{i!}=\frac{C^{n+1}}{(n+1)!}\desbordado{n\to\infty}{\a}0 $$ Ahora $\frac{2\pi n!}{i!}\in\mathbb{N}$ e $\sin$ converge uniformemente a lo $\forall\epsilon>0\exists\delta>0:|x-y|<\delta\Rightarrow|\sin(x)-\sin(y)<|\epsilon$. El límite anterior converge por lo $\forall\delta\exists n:|2\pi n!e-\sum_{i=0}^n\frac{2\pi n!}{i!}|<\delta$ y, a continuación,$|f(2\pi n!e)-f(\sum_{i=0}^n\frac{2\pi n!}{i!})|<\epsilon$. Pero $f(\sum_{i=0}^n\frac{2\pi n!}{i!})=0$ lo $|f(2\pi n!e)|<\epsilon$