Autovalores de a $2\times2$ matriz

Question

Deje $a,b$ ser distinto eigen valores de a $2\times2$ matriz$A.$, a Continuación, cuál de las siguientes declaraciones es verdadera?

1. $A^2$ tiene distintas eigen valores.
2. $A^3=\frac{a^3-b^3}{a-b}A-ab(a+b)I$
3. Seguimiento de $A^n$ es $a^n+b^n$ para cada entero positivo n.
4. $A^n$ no es un escalar varios de matriz de identidad para cualquier entero positivo n.

Creo que la primera opción es malo porque si $1,-1$ son distintos autovalores de $A$ pero $A^2$ tiene los autovalores $1,1$. La tercera opción es la correcta, como hemos resultado. Traté de segunda opción. La segunda es también la derecha. Para la cuarta opción, la ecuación característica implica $A^n$ no puede ser un escalar varios de matriz de identidad para cualquier entero positivo $n$. Es correcto?

Answer 1

Sugerencia: Para la opción $4$, la construcción de una matriz de $A$ con los elementos de la diagonal $1$ e $-1$. A continuación, compruebe $A^2$ = matriz identidad.