Evaluar $\int e^{2\theta} \sin (3\theta)\ d\theta$

Question

Evaluar $$\int e^{2\theta} \sin (3\theta)\ d\theta .$$

Estoy un poco atascado en cuanto a lo que puedo hacer después de este punto. Por favor, dígame si mi método en general es defectuoso:

Answer 1

Una alternativa :

Trabaja al revés e intenta diferenciar la expresión "ver",

$$(e^{2t}\sin(3t))'=2e^{2t}\sin(3t)+3e^{2t}\cos(3t).$$

Existe un nuevo término similar, con un coseno. Echa un vistazo a su derivada,

$$(e^{2t}\cos(3t))'=2e^{2t}\cos(3t)-3e^{2t}\sin(3t).$$

Entonces, formando una combinación lineal adecuada para eliminar el coseno, se obtiene

$$(2e^{2t}\sin(3t)-3e^{2t}\cos(3t))'=13e^{2t}\sin(3t).$$

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De manera más general, $e^{ax}\sin/\cos(bx)$ dará lugar a

$$(e^{ax}(a\sin(bx)-b\cos(bx)))'=(a^2+b^2)e^{ax}\sin(bx),\\ (e^{ax}(a\cos(bx)+b\sin(bx)))'=(a^2+b^2)e^{ax}\cos(bx).$$

Answer 2

Si usted denota $I := \int e^{2 \theta} \sin 3 \theta$ entonces su cálculo utilizando la integración por partes dos veces (que es el enfoque estándar, y uno razonable) dice que $$I = f(\theta) + \frac{9}{4} I$$ para alguna función $f$ que no implica una integral. (Quizás haya un error de signo en su fórmula, pero esto no afecta a la aplicabilidad de nuestro método:) Por lo tanto, mediante el álgebra podemos resolver simplemente $I$ (es decir, evaluar la integral) en términos de $f$ . (No olvide incluir la constante general, es decir, el " $+ C$ ", que debería aparecer en la fórmula de su antiderivada general pero no aparece en la igualdad anterior porque, como es habitual, interpretamos $I$ para ser un familia de funciones, todas iguales hasta una constante global).

Si te sientes cómodo con los números complejos, también puedes evaluar la integral recordando que $\sin \alpha = \frac{1}{2 i}(e^{i \alpha} - e^{-i \alpha})$ distribuyendo, utilizando que $\int e^{\beta t} dt = \frac{1}{b} e^{\beta t} + C$ y reescribir su expresión en términos reales.

Answer 3

Es mucho más sencillo de calcular con la función exponencial compleja: $\;\mathrm e^{2\theta}\sin 3\theta$ es la parte imaginaria de $\;\mathrm e^{(2+3\mathrm i)\theta}$ . Así que calculamos: \begin {align*} \int \mathrm e^{(2+3 \mathrm i) \theta }\, \mathrm d \mkern1mu\theta &= \frac1 {2+3 \mathrm i} \mathrm e^{(2+3 \mathrm i) \theta }= \frac {2-3 \mathrm i}{13} \mathrm e^{(2+3 \mathrm i) \theta } \\ &= \frac1 {13} \mathrm e^{2 \theta } \bigl (2 \cos 3 \theta +3 \sin3\theta + \mathrm i(2 \sin3\theta -3 \cos 3 \theta ) \bigr ), \end {align*} y tomar la parte imaginaria del resultado: $$\int\mathrm e^{2\theta}\sin 3\theta\,\mathrm d\mkern1mu\theta=\frac1{13}\mathrm e^{2\theta}(2\sin3\theta-3\cos 3\theta).$$

Answer 4

Tienes un error: $$ \int e^{2\theta}\sin(3\theta) d\theta=\frac{1}{2}e^{2\theta}\sin(3\theta)-\frac{3}{2}\int e^{2\theta}\cos(3\theta) d\theta= $$ $$ =\frac{1}{2}e^{2\theta}\sin(3\theta)-\frac{3}{4} e^{2\theta}\cos(3\theta) -\frac{9}{4}\int e^{2\theta}\sin(3\theta) d\theta $$ Así que..: $$ \left(1+\frac{9}{4} \right)\int e^{2\theta}\sin(3\theta) d\theta=\frac{1}{2}e^{2\theta}\sin(3\theta)-\frac{3}{4} e^{2\theta}\cos(3\theta) $$ y $$ \int e^{2\theta}\sin(3\theta) d\theta=\frac{e^{2\theta}}{13}\left(2\sin(3\theta)-3\cos(3\theta)\right) $$

Answer 5

Observar

$$(e^{at}\sin(bt+\phi))'=e^{at}(a\sin(bt+\phi)+b\cos(bt+\phi))=e^{at}r\sin(bt+\phi+\delta),$$ donde $r=\sqrt{a^2+b^2}$ y $\tan(\delta)=\dfrac ba$ .

La derivada de una sinusoide amortiguada es aquella sinusoide amortiguada con un cambio de amplitud y de fase.

Basta con invertir estos cambios para obtener

$$\int e^{at}\sin(bt)dt=e^{at}\frac 1r\sin(bt-\delta)=e^{at}\frac 1r(\sin(bt)\frac ar-\cos(bt)\frac br).$$