Consideremos el conjunto $\mathcal{C} = C^{\infty}(\mathbb{C}^*, \mathbb{C}^*)$ donde $\mathbb{C}^* = \mathbb{C}\backslash\{0\}$.
Tanto en $f(z) = z$ e $g(z) = \bar{z}$ puede ser visto como elementos en $\mathcal{C}$.
Pregunta: ¿hay un (suave, no necesariamente analítica) homotopy $H : [0, 1] \times \mathbb{C}^* \rightarrow \mathbb{C}^*$ entre $f$ e $g$?
He intentado lo que me pareció opciones naturales, tales como la deformación de la parte imaginaria, pero el problema es evitar la producción de algunas de las funciones que se asigna un valor distinto de cero número complejo a cero.
Motivación: En caso de que alguien se está preguntando, este problema surge en que muestra que dos complejos de la línea de paquetes de más de la $2$-esfera (sin problemas) isomorfo. Los paquetes son de $L_g^*$ e $L_{1/g}$ donde $g : \mathbb{C}^* \rightarrow \mathbb{C}^*$ es el encolado cocycle (sólo hay uno, puesto que el $2$-esfera está cubierta por dos proyecciones estereográficas).
Gracias.
