Sé que $x^2-x$ es un entero y también a $x^n-x$ es entero para algunos $ n > 2$. Puedo decir que $x$ es un entero? ¿Cómo puedo mostrar? ($x \in \mathbb{R}$)
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David HAust
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Supongamos que $x^2 - x = k \in \mathbf{Z}$. En orden para $x$ a ser real, bien $k = 0$ e $x \in \{0,1\}$ es un número entero, o $k > 0$. Para cualquier $k$ e $n$, la división larga muestra que
$$x^n - x = F_{n,k}(x)(x^2 - x - k) + A_{n,k} x + B_{n,k} = A_{n,k} x + B_{n,k}.$$
En particular, para la LHS que ser un número entero, o bien $x$ debe ser un número entero, o $A_{n,k}$ debe ser igual a cero. (Para ello se utiliza el hecho de que $x^2 - x = k$ implica que los $x$ es un número entero o $x$ es irracional por Gauss Lema.)
Yo reclamo que $A_{n,k} > 0$ para $n > 2$ e $k > 0$, y por lo tanto, si $x$ es real, el lado izquierdo es sólo un número entero al $x$ es un número entero.
Lema: Si $k > 0$, a continuación, $A_{n,k} > 0$ e $B_{n,k} > 0$ para todos los $n \ge 3$.
Prueba: Por inducción sobre $n$. Para $n = 3$ y cualquier $k > 0$, tenemos
$$x^3 - x = (x + 1)(x^2 - x - k) + k x + k.$$
Por lo $A_{n,k} = k > 0$, e $B_{n,k} = k > 0$.
Suponga que el resultado es cierto para $n$. Tenga en cuenta que
$$x^{n+1} - x = x(x^n - x) + x^2 - x = x(x^n - x) + (x^2 - x - k) + k.$$
Por lo tanto
$$\begin{aligned} x^{n+1} - x = & \ x F_{n,k}(x)(x^2 - x - k) + A_{n,k} x^2 + B_{n,k} x + (x^2 - x - k) + k \\ = & \ (x F_{n,k}(x) + 1)(x^2 - x - k) + A_{n,k} x^2 + B_{n,k} x + k \\ = & \ (x F_{n,k}(x) + 1)(x^2 - x - k) + A_{n,k} (x^2 - x - k) + A_{n,k}(x + k) + B_{n,k}x + k \\ = & \ (x F_{n,k}(x) + 1 + A_{n,k})(x^2 - x - k) + (A_{n,k} + B_{n,k})x + A_{n,k} \cdot k + k \end{aligned}$$
Y así (por inducción sobre $n$, y el uso de ese $k > 0$)
$$A_{n+1,k} = A_{n,k} + B_{n,k} > 0,$$ $$B_{n+1,k} = A_{n,k} \cdot k + k > 0.$$
