La estructura de un grupo finito de orden 40320

Question

Me gustaría conocer la estructura del grupo $G$ donde $G$ es una extensión no dividida de un grupo cíclico de orden 2 por el grupo simple $PSL(3,4)$ . (el grupo cíclico es normal).

¿Puede alguien ayudarme a introducir este grupo en el GAP?

Answer 1

Dejemos que $H$ sea un grupo finito de orden 443520 con un factor de composición $T/C \cong \operatorname{PSL}(3,4)$ , $1 \lhd C \lhd T \lhd H$ y $|C|=2$ .

Entonces $|T| = 40320$ es relativamente primo de $11$ Así que $T$ es un Hall normal $11'$ -subgrupo de $H$ . Sea $P$ sea un subgrupo Sylow 11 de $H$ . Entonces $T \cap P = 1$ por Lagrange, así que $H = P \ltimes T$ .

El grupo de automorfismo de $T/C$ tiene un orden relativamente primo a 11, y como $C=Z(T)$ es característica, cualquier automorfismo de $T$ induce un automorfismo de $T/C$ . Así, $[P,T] \leq C$ . Desde $[P,C]=1$ también, obtenemos $[P,T,T]=1$ . Si $T$ es perfecta, entonces el lema de los tres subgrupos da $[T,P]=1$ . Si $T$ no es perfecto, entonces $T=\operatorname{PSL}(3,4) \times C$ no tiene ningún automorfismo de orden 11, por lo que $[P,T]=1$ en ese caso también.

Por lo tanto, $H=T\times P$ .

$T$ tiene dos posibilidades: $T_1=\operatorname{PSL}(3,4) \times C$ y $T_2 = 2.\operatorname{PSL}(3,4)$ .

En GAP, el primero es creado por DirectProduct(PSL(3,4),SymmetricGroup(2)) y este último es creado por PerfectGroup(IsPermGroup,40320,4) .

Si no supieras cuántas posibilidades de $T$ entonces se puede pedir a GAP que calcule las extensiones no divididas utilizando la segunda cohomología sobre un campo (ya que $C$ es abeliano elemental, y sabemos que la acción de un elemento de $T/C$ en $C$ ):

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gap> tmodc := PSL(3,4);;
gap> p := 2;;
gap> chr := CHR( tmodc, p,
> Image(IsomorphismFpGroupByGenerators(g,GeneratorsOfGroup(g))),
> List(GeneratorsOfGroup(g),x->One(GL(1,p))));;
gap> dim := SecondCohomologyDimension( chr );
2
gap> ts\_fp := List( NormedRowVectors( GF(p)^dim ), v -> NonsplitExtension( chr, IntVecFFE( v ) ) );;
gap> ts := List( ts\_fp, t -> Image( IsomorphismPermGroup( t ) ) );;
gap> ts := ts{Filtered(\[1..Size(ts)\], i -> ForAll(\[1..i-1\],
> j -> fail = IsomorphismGroups( ts\[i\], ts\[j\] ) ) )};;
gap> List( ts, StructureDescription );
\[ "C2 . PSL(3,4)" \]
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