Debo presentar una prueba matemática a una sala de conferencias de los doctores con el fin de mostrarles cómo piensan los matemáticos. Tengo problemas para escoger una prueba de que seguirá fácilmente por personas que no han visto nada más allá de cálculos básicos en años. ¿Alguien tiene alguna sugerencia? Estoy tratando de pensar en algo visual para mantener su atención.
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MJD
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Mi go-to de ejemplo de este tipo es el siguiente problema: Es fácil ver cómo cubrir un tablero de ajedrez con 32 fichas de dominó, cada uno de los cuales cubre dos plazas adyacentes. Supongamos que el tablero de ajedrez tiene dos esquinas diagonalmente opuestas eliminado. Es posible cubrir el resto de 62 plazas con 31 fichas de dominó?
Si lo intentas, usted puede rápidamente encontrar que es mucho más difícil de lo que abarca la totalidad del tablero de ajedrez, a pesar de que podría no estar convencidos de que era imposible. Pero no es posible. Cada domino cubre uno negro y uno blanco cuadrado, por lo que el 31 de fichas de dominó debe cubrir el 31 de negro y el 31 de cuadrados blancos. Pero los mutilados tablero de ajedrez cuenta con 32 plazas de un color y sólo 30 de los de otro color.
Yo creo que nadie puede entender esto-y me he presentado a auxiliares administrativos sin formación en matemáticas que entendió de inmediato -, pero creo que se capta a la perfección la característica esencial de las matemáticas, que es que no tomamos en cuenta todas las formas posibles de colocar las fichas de dominó de una en una, pero en su lugar nos encontramos con un subyacente de la regularidad de la estructura y demostrar que la solución, si existiera, sería necesario un diferente tipo de estructura.
jball
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rajb245
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290
¿Por qué no seguir con un clásico de la prueba por contradicción de la irracionalidad de la $\sqrt 2$? Es corto y se ilustra muy bien el punto lógico.
También es relativamente sencillo trazar un paralelo con el método científico y el 'Popper/Quine criterio': una hipótesis y luego desmentido por el experimento; o, en términos médicos, un diagnóstico provisional de un paciente desmentido por un adicional de medición o de prueba.
Lo que es interesante acerca de la analogía es la forma en que se descompone. A diferencia de en una ciencia, en matemáticas que puede hacer un argumento estrictamente lógico único motivo.
rlpowell
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Si estos son médicos, creo que algo que ver con la paradoja de Simpson, especialmente como él se relaciona con la interpretación de (mis) de estudios médicos, sería apropiado.
Terry Phan
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Reclamación: $1+1/2+1/3+1/4+\ldots=\infty$. [sic!]
Prueba:
\begin{align*} &\,1+\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}+\underbrace{\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}}+\underbrace{\frac{1}{9}+\ldots\frac{1}{15}+\frac{1}{16}}+\underbrace{\frac{1}{17}+\ldots+\frac{1}{31}+\frac{1}{32}}+\ldots\\ \geq&\,1+\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}_{\text{2 terms}}+\underbrace{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}_{\text{4 terms}}+\underbrace{\frac{1}{16}+\ldots\frac{1}{16}+\frac{1}{16}}_{\text{8 terms}}+\underbrace{\frac{1}{32}+\ldots+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}}_{\text{16 terms}}+\ldots\\ =&\,1+\frac{1}{2}+\left(2\times\frac{1}{4}\right)+\left(4\times\frac{1}{8}\right)+\left(8\times\frac{1}{16}\right)+\left(16\times\frac{1}{32}\right)+\ldots\\ =&\,1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\ldots\\ =&\,\infty. \end{align*} Bam! Salón de actos lleno de doctores sorprendidos! $\quad\blacksquare$
A continuación, mostrar ejemplos numéricos para convencerlos más en el nivel intuitivo que divergen en realidad la serie armónica, aunque muy lentamente. Por ejemplo:\begin{align*} \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{k}\approx&\,2\mathord.93,\\ \sum_{k=1}^{100}\frac{1}{k}\approx&\,5\mathord.19,\\ \sum_{k=1}^{1000}\frac{1}{k}\approx&\,7\mathord.49,\\ \vdots&\,\\ \sum_{k=1}^{10^6}\frac{1}{k}\approx&\,14\mathord.39,\\ \vdots&\,\\ \sum_{k=1}^{10^{100}}\frac{1}{k}\approx&\,230\mathord.84\\ \vdots&\,\\ \sum_{k=1}^{10^{(10^6)}}\frac{1}{k}\approx&\,2\mathord,302\mathord,586\\ \vdots&\, \end{align*}
