El fin de resolver las integrales definidas

Question

He estado viniendo a través de varias de las integrales definidas en mi tarea donde la resolución de la orden se invierte, y estoy seguro de por qué. Actualmente, estoy trabajando en el cálculo de la zona de intersección entre ambos y no de intersección de las gráficas.

Según el libro, la fórmula para encontrar el área limitada por las dos gráficas es

$$A=\int_{a}^{b}f(x)-g(x) \mathrm dx$$

Por ejemplo, dada $f(x)=x^3-3x^2+3x$ e $g(x)=x^2$, se puede ver que las intersecciones se $x={0, 1, 3}$ por factorización. Así, a primera vista, parece como si el problema es resuelto a través de

$$\int_0^1f(x)-g(x)\mathrm dx+\int_1^3f(x)-g(x)\mathrm dx$$

Sin embargo, cuando he resuelto utilizando los integrales, la respuesta no coincide con el libro de contestar, así que eché otro vistazo a la obra. Según el libro, la integral real fórmulas son

$$\int_0^1f(x)-g(x)\mathrm dx+\int_1^3g(x)-f(x)\mathrm dx$$

Yo era un poco de curiosidad acerca de eso, así que me puse las fórmulas en una grapher y resulta que f(x) y g(x) flip valores en la intersección x=1.

Entonces, ¿cómo puedo determinar que el fin de colocar el f(x) y g(x) de integración orden sin el uso de una representación gráfica de la utilidad? Dependiente de la intersección de los valores?

Answer 1

Tenga en cuenta que la fórmula correcta para el área es $$A = \int_a^b \Bigl| f(x)-g(x)\Bigr|\,dx$$ (tenga en cuenta el valor absoluto bares!) Eso significa que usted necesita tener cuidado con los que la función es mayor y que la función es menor en cualquier intervalo de tiempo dado.

Ya que las gráficas se intersecan en $0$, en $1$ y a las $3$, y en ningún otro lugar, y las funciones son continuas, lo que significa que la única lugares donde la función puede cambiar "que está en la parte superior" son $0$, $1$ y $3$.

Esto significa que en la $(-\infty,0]$, usted siempre tiene la misma función "en la parte superior; de la misma forma, las funciones no cruzar en $[0,1]$, y no el de la cruz en $[1,3]$.

Así, sólo tiene que enchufar en cualquier número entre el $0$ e $1$ a ver, que uno es más grande en ese intervalo. En $\frac{1}{2}$, usted tiene $f(\frac{1}{2}) = 0.875$, $g(\frac{1}{2}) = 0.25$; desde $f(\frac{1}{2})\gt g(\frac{1}{2})$, en $[0,1]$ ha $f\geq g$, por lo que en $[0,1]$ hemos $$\Bigl| f(x) - g(x) \Bigr| = f(x)-g(x).$$

Para ver lo que sucede en $[1,3]$, enchufe en cualquier número en $[1,3]$; por ejemplo, conectar $x=2$, tenemos $f(2) = 2$, $g(2) = 4$, así que, en este intervalo tenemos $g\geq f$, por lo tanto en $[1,3]$ hemos $$\Bigl| f(x)-g(x)\Bigr| = g(x)-f(x).$$

Answer 2

Arturo y wckronholm ya han ofrecido un modo sencillo y concreto para determinar dónde se $|f(x)-g(x)|$ es $f(x)-g(x)$ e donde se $g(x)-f(x)$, pero la que realmente debería estar familiarizado con la señal de análisis.

Como ya se ha descubierto, $f(x)-g(x)=x^3-4x^2+3x=x(x-1)(x-3)$. Estos tres factores de cambio de signo en $0$, $1$, y $3$, respectivamente; ninguno de ellos cambia de signo dentro de cualquiera de los intervalos de $(-\infty,0)$, $(0,1)$, $(1,3)$, y $(3,\infty)$. En $(-\infty,0)$ todos los tres factores son negativos; en $(0,1)$ el factor de $x$ es positivo y los otros dos son negativos; en $(1,3)$ los factores de $x$ e $x-1$ son positivos y $x-3$ es negativo; y en $(3,\infty)$ todos los tres son positivos. El producto $x(x-1)(x-3)$ es, por tanto, un resultado negativo en el $(-\infty,0)$, positivo en $(0,1)$, un resultado negativo en el $(1,3)$, y positivo en $(3,\infty)$. Que te dice que $|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)$ al $0<x<1$ o $x>3$, e $|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)$ al $x<0$ o $1<x<3$. (Por supuesto, $|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)=g(x)-f(x)=0$ al $x$ es $0$, $1$, o $3$.)

Answer 3

Son, espero, no citando su libro de cálculo correctamente.

El resultado correcto es:

Supongamos que $f(x) \ge g(x)$ en el intervalo de $x=a$ a $x=b$. Entonces el área de la región entre las curvas de $y=f(x)$ e $y=g(x)$, a partir de la línea de $x=a$ a la línea de $x=b$, es igual a $$\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx.$$

La condición de $f(x)-g(x) \ge 0$ es esencial aquí.

En tu ejemplo, de $x=0$ a $x=1$ tenemos $f(x) \ge g(x)$, por lo que el área de $0$ a $1$ es de hecho $\int_0^1 (f(x)-g(x))\, dx$.

Sin embargo, a partir de $x=1$ a $x=3$, tenemos $f(x) -g(x) \le 0$, la curva de $y=g(x)$ se encuentra por encima de la curva de $y=f(x)$. De manera que el área de la región comprendida entre las dos curvas, de $x=1$ a $x=3$ es $\int_1^3(g(x)-f(x))\,dx$.

Para encontrar el área completa, agrega.

Comentario: Al calcular $\int_a^b h(x)\,dx$, la integral alegremente "suma" y no preocuparse de si las cosas que se está sumando es positivo o negativo. Esto a menudo da exactamente la respuesta que necesitamos. Por ejemplo, si $h(t)$ es la velocidad en el tiempo de $t$,, a continuación, $\int_a^bh(t)\,dt$ da la red de desplazamiento (cambio de posición) como pasa el tiempo de $a$ a $b$. La integral se tiene en cuenta el hecho de que cuando se $h(t)<0$, vamos "hacia atrás".

Si queríamos que la distancia total recorrida, tendríamos que tratar a las partes donde $h(t) \le 0$, y las partes donde $h(t)\ge 0$ por separado, tal y como hemos tenido en el área de caja.

Para determinar donde $f(x)-g(x)$ es positivo, negativo, podemos dejar que la $h(x)=f(x)-g(x)$, e intentar encontrar donde $h(x)$ es positivo, negativo. Una función continua $h(x)$ sólo puede cambiar de signo donde $h(x)=0$. (No necesita cambio de signo allí. Por ejemplo, si $h(x)=(x-1)^2$,, a continuación,$h(1)=0$, pero $h(x)$ no cambia de signo en $x=1$.)

Si las soluciones de $h(x)=0$ son fáciles de encontrar, se puede determinar rápidamente a todos los lugares donde no puede haber un cambio de signo, y el resto es sencillo. De lo contrario, un procedimiento numérico se usa para aproximar las raíces.

Answer 4

Un enfoque es integrar a $\int_a^b |f(x)-g(x)|\;dx$, pero en la práctica esto generalmente significa que usted necesita saber cual de $f$ e $g$ es el más grande de la función, que podría cambiar en algunos puntos en el intervalo de $[a,b]$. Un método para determinar este comportamiento es la gráfica de las funciones. Pero esto también puede ser hecho sin la gráfica.

Supongamos $f$ e $g$ son continuas en $[a,b]$ y $f(a)=g(a)$ e $f(b)=g(b)$ e $f(x) \neq g(x)$ a $(a,b)$. Por la continuidad, la función de $f-g$ es no negativo en $(a,b)$ o no positivos en $(a,b)$. Podemos determinar que por la elección y el valor de $c$ entre $a$ e $b$.

Así, en el ejemplo, para determinar que la función es mayor en el intervalo de $[0,1]$ podemos elegir para evaluar cada función en $1/2$: $f(1/2)=7/8$ y $g(1/2)=1/4$. Por lo tanto $f \geq g$ a $[0,1]$, por lo que el área es $\int_0^1 f(x)-g(x)\;dx$ en este intervalo.

Usted puede repetir este proceso en cada intervalo entre los puntos de intersección.

Answer 5

Si usted sabe que se cruzan en 0, 1 y 3 y no tienen discontinuidades (ya que son polinomios), puede conectarlo a algún número entre 0 y 1 en ambos $f$ e $g$ y ver cual es la más grande, y también un número entre el 1 y el 3. Ciertamente, usted no necesita una representación gráfica de la utilidad de hacerlo.