¿Cómo debo entender que "cada función bilineal $f$ a $V\times W$"?

Question

En este artículo, no es un lema de la siguiente manera:

Deje $U$ e $V$ ser espacios vectoriales, y deje $b:U\times V\to X$ ser un bilineal mapa de $U\times V$ a un espacio vectorial $X$. Supongamos que para cada bilineal mapa de $f$ definido en $U\times V$ no es lineal único mapa de $c$ definido en $X$ tal que $f=cb$. A continuación, hay un isomorfismo $i:X\to U\otimes V$ tal que $u\otimes v=ib(u,v)$ por cada $(u,v)$ en $U\otimes V$.

Hay varios otros lugares en este artículo donde el autor utiliza "cada bilineal mapa de $f$ definido en $U\times V$ ", sin especificar el rango de la función.

Como yo lo entiendo, puede significar uno de los siguientes elementos:

1. $\forall f\in{\mathcal L}(V,W;Y)$ para algunas espacio vectorial Y;
2. $\forall f\in \bigcup_{Y\text{is a vector space}}{\mathcal L}(V,W;Y).$

Cuál es la correcta y cómo debo entender?

Answer 1

El segundo. La declaración acerca de la característica universal y es esencialmente categórica. Una simple lectura de la frase correspondiente, debe ser que

$\forall Y$ un espacio vectorial y $\forall f:U\times V \to Y$ $\exists ! c: X\to Y$ s.t. $f = cb$.

Answer 2

La primera instrucción generalmente se expresa por algo así como "Supongamos que hay un espacio vectorial $Y$ tal que para cada bilineal mapa de $f$ de $U\times V$ a $Y$..." -- normalmente no implica tan distinguida objeto sin la introducción de la misma. En un sentido, el objetivo del espacio de $Y$ es una variable libre de la declaración, y libre de las variables generalmente implica un cuantificador universal aplicado a ellos (2), no un cuantificador existencial (1).