Relación entre la cardinalidad de un grupo y la cardinalidad de la colección de los subgrupos

Question

Para un grupo G sea F(G) denota el conjunto de todos los subgrupos de G. cuál de las siguientes situaciones puede ocurrir?

1. G es finito, pero F(G) es infinito.
2. G es infinito, pero F(G) es finito.
3. G es contable, pero F(G) es incontable.
4. G es incontable, pero F(G) es contable.

El intento. Si G es finito, entonces P(G) es finito por lo tanto (1) no es posible. Sea G=I(el conjunto de los números enteros) ser un grupo en adición a continuación, Considere la posibilidad de S=$\{$Grupo de los enteros modulo n para n$\epsilon N$}$\subset F(G)$ por lo tanto infinito, por tanto, (2) es incorrecta.(4) también es incorrecta Considerar R(el conjunto de los números reales) en virtud de la adición, a continuación, Sea S=$\{ma|a\epsilon R$-{conjunto de los números irracionales $m\epsilon I$}$\}$ $\subset F(G)$ donde S es incalculable por lo tanto F(G) es incalculable por lo tanto (3) es la única opción. Por qué (3) es posible?

Answer 1

• Tienes razón en que (1) es imposible.

• Para (2), su razonamiento es incorrecto, por dos razones: en primer lugar, los enteros modulo $n$ no son un subgrupo de los números enteros, sino más bien un cociente de grupo. En segundo lugar, para demostrar que (2) es imposible que tendría que demostrar que es falsa para TODOS los grupos, no sólo para los números enteros.

  Tienes razón en que (2) es imposible. Para demostrarlo, vamos a $A$ ser una infinita grupo y considerar el subgrupo generado por cada elemento $a \in A$. Hay dos casos: el primero, uno de estos subgrupos es infinito y isomorfo a $\mathbb{Z}$; en segundo lugar, todos estos subgrupos son finitos. En el primer caso, usted debería ser capaz de demostrar que $\mathbb{Z}$ tiene infinitamente muchos subgrupos. En el segundo, $F(G)$ contiene un subgrupo finito que contiene cada elemento, y un número finito finito subgrupos no podría cubrir cada elemento.

• Para (3), la Marca ya ha vinculado de por qué es posible en esta pregunta.

• Para (4), de nuevo, usted no puede probar que es imposible, simplemente por dar un solo ejemplo, usted tiene que demostrar que es falsa para TODOS los grupos. Trate de emplear una técnica similar a como hemos demostrado (2): considere el $A$ a un incontable grupo, y para cada una de las $a \in A$ hay un subgrupo generado por $a$ que es en la mayoría de los contables. Si no se countably muchos subgrupos total, entonces el contable de la unión de conjuntos contables es contable, así que...

Así que el único que es posible es (3).

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Comentario:

Los argumentos en (2) y (4) generalizar de la siguiente manera: si $G$ es infinito,$|F(G)| \ge |G|$. Pero esto no es cierto si $G$ es finito, por ejemplo, si $G$ es cíclico de primer orden, a continuación, sólo tiene dos subgrupos.