Los números primos en un Conjunto Infinito

Question

Deje $S$ ser el conjunto infinito de números enteros positivos, cuyos miembros pueden ser escritas con ningún dígitos excepto $0$ e $1$ y no más de $1988$ $1s$. Muestran que algunos entero $n$ no dividir cualquier miembro de $S$

(Torneo de las ciudades 1er semestre de 1989 mayor nivel)

Answer 1

Para $y=1998$ elija $m>\lfloor y/9\rfloor=220$; a continuación, $n=10^m-1$ no dividir la suma de cualquiera de las $k$ poderes de$~10$ para $0<k\leq y$, que es la propiedad que desea. (No es necesario suponer las potencias de diez distintas, por lo $n$ más en general no dividir cualquier número positivo cuya suma de dígitos es en la mayoría de las $y$.)

Para ver que esto es cierto, tenga en cuenta primero que $10^a\equiv10^r\pmod n$ al $a\equiv r\pmod m$. Así que sustituyen a los exponentes por sus restos modulo $m$, es suficiente para probar esto de una suma de términos entre $1,10,100,\ldots,10^{m-1}$. Además de una suma en la que un mismo término se produce, al menos, $10$ veces puede ser reducido a una suma con menos términos mediante la combinación de los términos, de manera que uno puede asumir que esto no suceda. Pero el resto de las sumas de las potencias de $10$ dar un resultado positivo a menos de $n$, por lo que no divisible por $n$.