Estoy tratando de demostrar la continuidad de la funcional \begin{equation} f: v \mapsto \int_{\mathbb{R}^N} \vert v \vert^2 \end{equation} en el espacio \begin{align} V(\mathbb{R}^N) = \lbrace v = v_1 + i v_2 : \mathbb{R}^N \to \mathbb{C} ~ | ~ &\nabla v \in L^2(\mathbb{R}^N), \\ &v_1 \in L^2(\mathbb{R}^N), \\ &v_2 \in L^4(\mathbb{R}^N),\\ & \nabla v_1 \in L^\frac{4}{3}(\mathbb{R}^N) \rbrace, \end{align} equipado con la norma $$ \Vert v \Vert_{V(\mathbb{R}^N)} = \Vert \nabla v \Vert_{L^2(\mathbb{R}^N)} + \Vert v_1 \Vert_{L^2(\mathbb{R}^N)} + \Vert v_2 \Vert_{L^4(\mathbb{R}^N)} + \Vert \nabla v_1 \Vert_{L^\frac{4}{3}(\mathbb{R}^N)}.$$
Ahora, si yo trato de demostrar la continuidad elijo $v,w \in V(\mathbb{R}^N)$ tal que $$ \Vert v - w \Vert_V < \delta $$ for some $\delta>0$. In particular, $$\Vert \nabla v \Vert_{L^2(\mathbb{R}^N)} = \int \vert \nabla v_1- \nabla w_1 \vert^2+\vert \nabla v_2-\nabla w_2 \vert^2< \delta.$$ I go on to compute \begin{align} \vert f(v) - f(w) \vert &= \left\vert \int \vert \nabla v \vert^2 - \int \vert \nabla w \vert^2 \right\vert \\ &= \left\vert \int \vert\nabla v_1\vert^2 - \vert\nabla w_1\vert^2 + \vert \nabla v_2 \vert^2 - \vert\nabla w_2\vert^2 \right\vert \end{align} Here I'm stuck. How do I show that this is smaller than any $\varepsilon>0$ if only $\delta$ es lo suficientemente pequeño? O es que hay otra forma de demostrar la continuidad? Cualquier sugerencia se agradece mucho!
EDIT. En el contrario: $\vert \vert a \vert^2-\vert b \vert^2 \vert \not\leq C \vert a - b \vert^2$ en general (por $N=1$ intente $b=a-\varepsilon$).
