Pilas y Grothendieck topología.

Question

Estaba leyendo https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notas/módulos-rojo-la universidad de harvard.pdf, la introducción de algunas notas sobre geometría algebraica (pilas, no sé lo que es), y se topó con el siguiente instrucción :

En el inicio de la geometría algebraica, uno empieza con variedades sobre los números complejos, un conjunto de puntos con una topología de Zariski en el que todos los puntos están cerrados puntos. En generalizar esto a los planes, una pregunta para un localmente anillado topológica del espacio equipado con una estructura de gavilla, permitiendo cerrado y nonclosed puntos. Para generalizar este además, definimos un objeto llamado una pila que va a permitir que los "puntos", equipado con trivial automorfismos: va a ser una categoría con una topología de Grothendieck.

Entiendo que la generalización de los esquemas, de los espacios donde nos permiten no cerrado puntos. Pero no entiendo lo que significa decir no trivial de automorfismos y no soy del todo consciente de lo que un Grothendieck topología.

Cualquier información con respecto a que no trivial automorphism es bienvenido. Traté de leer la definición de Grothendieck de topología pero no entiendo la definición.

Answer 1

Una lectura de referencia es David Carchedi de la tesis, se trata de la diferenciable pilas, pero la discusión de Grothendieck topologías y las pilas son de carácter general. Me puede contestar a las partes de la pregunta en términos de diferenciables de las pilas, y la intuición debe llevar encima.

No triviales de automorfismos: Si usted tiene una Mentira grupo $G$ que actúa sobre un colector $M$, el cociente $M/G$ no, en general, ser suave. Siempre se puede definir la "stacky cociente" $[M/G]$ que es realmente una categórica tonterías (ver abajo), pero se comporta (en algunos aspectos) como un suave colector. Por ejemplo, $[M/G]$ tiene un complejo de formas diferenciales. Pensar por qué $[M/G]$ podría tener puntos con trivial automorfismos, imagine $M=\{-1,0,1\}\subset \mathbb{R}$ e $G$ es el grupo con dos elementos que actúan por reflexiones sobre $0$. Como un colector, $M/G$ está a sólo dos puntos, pero en la pila cociente el punto de $0$ "recuerda" fue el punto fijo de la acción y tiene un trivial automorphism.

Grothendieck topologías: una pila es Una generalización de una gavilla, y aquí es donde Grothendieck topologías de venir. Has visto las poleas definidas sobre espacios topológicos, pero aquí lo que realmente significan las poleas más de una categoría. Con el fin de hacer sentido de la gavilla (encolado) condición, hay que definir el análogo de una topología en su categoría, que es la topología de Grothendieck. Es más o menos especifica que morfismos en su categoría usted debe pensar en como abrir las cubiertas.

Finalmente, usted debe buscar el functor de puntos/Yoneda lema a ver donde poleas más de una categoría venir en toda la historia.