¿Cuándo se puede integrar una serie término a término?

Question

Tengo una función que está definida como una serie armónica, me gustaría integrarla sobre parte de su dominio. He estado haciendo esto integrando término por término y sumando el resultado, pero me parece recordar algo en el pequeño Rudin que daba condiciones bajo las cuales esto es válido, sin embargo, si pudiera recordar lo que decía aún no creo haberlo entendido. Así que mi pregunta es ¿cuándo es cierto lo siguiente?

$$\int_a^b{\sum_{i}{f_i\left(x\right)}}=\sum_i{\int_a^b{f_i\left(x\right)}}$$

Answer 1

Si la suma es finita (en número de términos) entonces la fórmula siempre funciona, simplemente por la aditividad del operador de integración.

Si la serie es convergente uniforme y cada $f_{n}(x)$ es integrable, entonces la fórmula funciona. Creo que puede haber ejemplos de series convergentes puntualmente (pero no uniformemente) para las que la fórmula no funcione, pero parece que no puedo encontrarlos en este momento.

Básicamente, necesitamos que la secuencia de sumas parciales sea uniformemente convergente a alguna función límite, en cuyo caso la función límite es la propia serie. El resultado utiliza el hecho de que el límite de una secuencia de integrales de funciones que convergen uniformemente es la integral de su límite uniforme..

Edición: Este conjunto de notas de la UCSC (con referencias) incluye un tratamiento bastante bueno de toda la situación, y también tiene algunos ejemplos útiles.

Answer 2

En estos resultados utilizamos el teorema de Abel según el cual, para las funciones analíticas, la diferenciación e integración de las series de potencias puede realizarse término a término y, por tanto, es especialmente fácil, y el radio de convergencia de la serie resultante es el mismo que el inicial.

Answer 3

Si no recuerdo mal, mientras cada uno de los términos individuales sea integrable, esto está bien. Es cuando algunos de los términos pueden tener discontinuidades que hacen que un término individual no sea integrable, pero que son anuladas por características similares en otros términos que este método se cae. No es una definición rigurosa, lo sé, pero en el caso de una serie armónica, esto no debería ser problemático.