Por ejemplo $\mathbb{R}P^n$ es también el espacio cociente $S^n / (v \sim -v)$ . ¿Y cuándo es seguro referirse a un espacio como uno de sus espacios homeomórficos y realizar otras deducciones a partir de ese espacio homeomórfico?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Pawel
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28
Toda la información topológica de un espacio topológico está contenida en sus conjuntos abiertos, o lo que es lo mismo, en sus conjuntos cerrados. Lo que quiero decir con esto es que cualquier propiedad topológica está completamente determinada por la topología, es decir, por los conjuntos abiertos.
¿Qué es una propiedad topológica? Pues bien, a riesgo de ser tautológico, es exactamente una propiedad que se define utilizando únicamente la noción de conjuntos cerrados y abiertos. Como dos espacios homeomórficos tienen exactamente los mismos conjuntos abiertos y cerrados, también tendrán exactamente las mismas propiedades topológicas.
Veamos algunos ejemplos de propiedades topológicas.
Ejemplos:
- Compacto
- Conectado
- Hausdorff
- Separable
- Normal
- Discreto
- Regular
Ahora bien, si el espacio topológico tiene más estructura, como una métrica, entonces las propiedades que dependen de la métrica, como la completitud, no son propiedades topológicas, y por tanto podrían no ser preservadas por un homeomorfismo. Obsérvese que $\mathbb{R}$ es homeomorfo a $(0,1)$ pero el intervalo abierto no es completo, ya que $\mathbb{R}$ es.
Así que si te mantienes totalmente en el ámbito de la topología, no hay peligro en estudiar un espacio $X$ para conocer un espacio $Y$ si $X\cong Y$ .
zyx
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20965
El isomorfismo simple puede ser suficiente si se estudia un solo objeto, pero esto puede fallar en familias (como los haces no triviales). El isomorfismo natural es casi siempre suficiente para tratar los objetos isomórficos como iguales.
Esto es asumiendo que usted está interesado en las propiedades de isomorfismo-invariante, y la noción de isomorfismo se toma en cualquier categoría que acomoda las construcciones que se harán en $X$ y sus isomorfos.
