¿Es el grupo aditivo de los números reales (R,+) compacto?

Question

Tengo una pregunta muy ingenua sobre topología básica. Mi objetivo es determinar las condiciones de un campo vectorial para que su flujo defina una acción propia de (R,+). Entiendo que si el grupo G es compacto, entonces la acción G es propia por lo que tengo que determinar si (R,+) es compacta. Me parece que al ser homomorfo al grupo circular (compacto) a través de la función exponencial que es continua, entonces (R,+) debe ser compacto también pero no he encontrado ninguna prueba explícita de esta afirmación. ¿Puede alguien ayudarme con eso? Muchas gracias

Más concretamente, quiero utilizar la siguiente propiedad: Sean X e Y dos espacios topológicos, si $f:X\mapsto Y$ es continua y X es compacto, entonces $f(X)$ es compacto. El grupo de Lie del círculo $T=\{z\in \mathbb C|\, |z|=1\}$ es compacto y existe un homomorfismo (la función exponencial) $exp:T\mapsto (R,+)$ que es continua. Por lo tanto, identificando X=T e Y=(R,+), (R,+) debe ser compacto ?

Vale, ahora veo mi error (de novato). Gracias a todos.

Answer 1

No, $\Bbb{R}$ no es compacto (con la topología estándar). La cobertura por intervalos abiertos $(-n,n)$ no tiene una subcubierta finita.

Answer 2

Como señaló Chris Eagle, el grupo $G = (\mathbb{R},+)$ no es compacto. Su argumento sobre la función $\varphi: \mathbb{R} \to S^1$ definido por $\varphi(x) = e^{ix}$ (o $\varphi(x) = (\cos x,\sin x)$ ) no muestra que $G$ es compacta, ya que la función $\varphi$ no es una biyección (y por tanto no es un homeomorfismo).

Observe, en su edición, los espacios $X$ y $Y$ están al revés; $\exp: \mathbb{R} \to S^1$ y no al revés. Además, cuando se dice simplemente "la función exponencial", me lleva (y a la mayoría de los demás, supongo) a pensar en el mapa $x \mapsto e^x$ o el mapa exponencial de un álgebra de Lie a su grupo de Lie. Así que, a no ser que te estés refiriendo a uno de esos mapas (que en este caso no es así, ya que el primero es un mapa $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{>0}$ y este último es $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ), probablemente debería ser más específico.

Por otro lado, la función $\varphi$ es localmente inyectiva y por tanto un homeomorfismo local. Así que si se quiere, se puede utilizar para argumentar que $G$ es localmente compacto (cada punto tiene una vecindad compacta), aunque hay formas más fáciles de ver esto.