Deje $\mathcal{M}$ e $\mathcal{N}$ dos estructuras en una lengua $\mathcal{L}$. Definimos el finito determinado juego de $G_n(\mathcal{M},\mathcal{N})$ como un juego con $n$ rondas donde en cada ronda el jugador I se selecciona un elemento de $M \cup N$ (vamos a decir $a\in M$) y el jugador II responde con otro elemento de la estructura (que permite decir $b\in N$). El jugador II gana un juego, si el parcial mapa que toma elementos en $M$ seleccionados por algún jugador para el elemento en $N$, ya sea respondido por el jugador II (si es que fue jugador soy yo quien eligió el elemento en $M$) o seleccionado por el jugador I (si es que fue jugador de los dos que respondieron con dicho elemento en $M$) es una vista parcial de la incrustación. Esto se llama un Ehrenfeucht-Fraïssé (EF) de juego.
Un notable teorema establece que si $\mathcal{L}$ es finito y no tiene la constante de símbolos, a continuación, $\mathcal{M}\equiv\mathcal{N}$ fib jugador II tiene una estrategia ganadora en $G_n(\mathcal{M},\mathcal{N})$ para todos los $n$.
Ahora la forma que yo sé de la prueba de esto está mostrando que el jugador II tiene una estrategia ganadora para $G_n(\mathcal{M},\mathcal{N})$ es equivalente a $\mathcal{M}$ e $\mathcal{N}$ siendo elementarily equivalente a cuantificador rango $n$. En dicha prueba el neccesity de tener un lenguaje finito sin los símbolos de la función se indica.
Aún así, cualquier lenguaje finito $\mathcal{L}$ puede ser cambiado a otro lenguaje finito $\mathcal{L}^*$ donde todos los símbolos de la función o arity $n$ es sustituida por una relación símbolo de arity $n+1$. Para cada strcutre $\mathcal{M}$ en $\mathcal{L}$ no es un análogo de una $\mathcal{M}^*$ en $\mathcal{L}^*$ donde las relaciones sustituir las funciones. Son análogas en el sentido de que para cada frase $\varphi$ en $\mathcal{L}$ hay otra frase $\psi$ en $\mathcal{L}^*$ tal que $\varphi$ mantiene en $\mathcal{M}$ fib $\psi$ mantiene en $\mathcal{M}^*$ (y viceversa). Ahora bajo esta alteración parcial parcial mapa entre las estructuras en $\mathcal{L}$ es $\mathcal{L}$-parcial de la incrustación de iff es una $\mathcal{L}^*$-parcial incrustación entre el análogo de estructuras en $\mathcal{L}^*$. En $\mathcal{L}^*$ el teorema anterior se puede aplicar, lo que lleva a mi pregunta:
No el teorema anterior todavía se aplican para el caso de un lenguaje finito con símbolos de función?
EDIT: Para hacer las cosas claras, yo defino parcial de incrustación considerando una función simplemente como otra relación. Es decir, dado $\mathcal{M}$ e $\mathcal{N}$ dos $\mathcal{L}$-estructuras, $j:\text{dom}(j)\rightarrow N$ donde $\text{dom}(j)\subset M$ es una vista parcial de la incrustación de $\mathcal{M}$ a $\mathcal{N}$ si la gráfica de $j$ unión $\{(c^\mathcal{M}, c^\mathcal{M})\}$ tal que $c$ es una constante symbok en $\mathcal{L}$ da la gráfica si una función inyectiva (que también llamamos $j$) que satisface
$(1)$ Cualquier $n$-ary relación símbolo $R$ en $\mathcal{L}$ e $n$-ary vector $\bar{x}$ en $\text{dom}(j)$, $\bar{x}\in R^\mathcal{M}$ si y sólo si $j(\bar{x})\in R^\mathcal{N}$.
$(2.)$ Cualquier $n$-ary símbolo de función $f$ en $\mathcal{L}$ e $n$-ary vector $\bar{x}$ en $\text{dom}(j)$ y cualquier $y\in\text{dom}(j)$, $y= f^\mathcal{M}(\bar{x})$ si y sólo si $j(y)= f^\mathcal{N}(j(\bar{x}))$.
