Demostrando que un valor específico es tomado por una función continua

Question

Deje $f:x\longmapsto \dfrac 1n \displaystyle\sum_{k=1}^n |x - a_k|$ donde $a_k$ son los elementos del intervalo de $[0,1]$ satisfacción $a_1<a_2<\cdots <a_n$.

La pregunta es para probar que $f$ toma el valor de $\dfrac{a_1+a_n}{2}$

He intentado utilizar IVT demostrando que $\dfrac{a_1+a_n}{2}$ se encuentra entre dos conocidos tomado los valores de $f$ pero yo no lograr ningún progreso.

Algunas observaciones : $$f(0) + f(1) = 1$$ $$f(a_1)=f(0)-a_1$$ $$f(a_n)=a_n-f(0)$$

Todas las sugerencias se agradece.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(x)$ es convexo, de ahí que $$ f \ left (\ frac {a_1 + a_n} {2} \ right) \ leq \ frac {f (a_1) + f (a_n)} {2} = \ frac {a_n - a_1} {2} \ leq \ frac {a_1 + a_n} {2}. $$ También tenemos $$ f (2) \ geq 1 \ geq \ frac {a_1 + a_n} {2}. $$ Luego de la IVT existe $\xi \in \left[\frac{a_1 + a_n}{2}, 2\right]$ tal que $f(\xi) = \frac{a_1 + a_n}{2}$ .

Answer 2

Sí, IVT es la herramienta adecuada aquí. Tenga en cuenta que $f$ es continua y convexa de la función en $\mathbb{R}$ porque es una combinación convexa de la continua y las funciones convexas $x\to |x-a_k|$ para $k=1,2,\dots,n$. Por lo tanto, por sus comentarios, $$f\left(\frac{a_1+a_n}{2}\right)\leq \frac{f(a_1)+f(a_n)}{2}=\frac{a_n-a_1}{2}\leq \frac{a_n+a_1}{2}.$$ Ahora, con el fin de aplicar IVT, basta decir que $$\frac{a_n+a_1}{2}< \sup_{x\in \mathbb{R}} f(x)=+\infty.$$ P. S. no es siempre cierto que $$\frac{a_n+a_1}{2}\leq \max_{x\in [0,1]} f(x)=\max\{f(0),f(1)\}.$$ Tomemos, por ejemplo, $a_1=1/3$, $a_2=1/2$, e $a_3=3/4$. De ello se deduce que el valor de $\frac{a_1+a_n}{2}$ podría ser alcanzado por la $f$ fuera del intervalo de $[0,1]$.