Estabilizador de un punto y órbita de un punto.

Question

Realmente necesito ayuda con este tema tengo un examen mañana y estoy tratando de sacar esto de mi cabeza. Pero el libro no es explicar mí estos dos temas correctamente.

Me da la definición de un estabilizador en un punto en el $\mathrm {Stab}_G (i) = \{\phi \in G \mid \phi(i) = i\}$, y donde $\mathrm{Orb}_G (i) = \{\phi(i) \mid \phi \in G\}$.

No sé cómo calcular el estabilizador ni de la órbita de este. Yo también soy dado un ejemplo

Deje $G = \{ (1), (132)(465)(78), (132)(465), (123)(456), (123)(456)(78), (78)\}$ y, a continuación,

$\mathrm{Orb}_G (1) = \{1, 3, 2\}$,
$\mathrm{Orb}_G (2) = \{2, 1, 3\}$,
$\mathrm{Orb}_G (4) = \{4, 6, 5\}$, y
$\mathrm{Orb}_G (7) = \{7, 8\}$.

también

$\mathrm{Stab}_G (1) = \{(1), (78)\},\\ \mathrm{Stab}_G (2) = \{(1), (78)\},\\ \mathrm{Stab}_G (3) = \{(1), (78)\},\text {and}\\ \mathrm{Stab}_G (7) = \{(1), (132)(465), (123)(456)\}.$

Si alguien pudiera por FAVOR ir paso a paso en cómo en este ejemplo se ha resuelto sería realmente útil.

Gracias

Answer 1

Usted no va a sobrevivir si no se puede calcular algo después de su definición. Realmente pasar tiempo undestanding definiciones, y hacerlo mucho más pronto que la noche antes del examen.

Haciendo que toda la cosa, no le ayudará en el largo plazo, pero haciendo algunas muestras es bastante justo! Estoy suponiendo que la notación es hacer la composición de esta manera:$ (fg)(x)=f(g(x))$.

A continuación,$\mathrm{Orb}(1)=\{\phi(1)\mid \phi\in G\}=\underline{\{1,3,3,2,2,1\}}=\{1,2,3\}$. Cada uno de los números entre el subrayado de llaves es, en el orden mencionado, el resultado de aplicar a cada elemento de $G$ a 1. Por ejemplo,$(132)(465)1=(132)1=3$.

Si no se puede aplicar el permutaciones para un número único, entonces usted realmente tiene mucho más que estudiar para hacer.

Para $\mathrm{Stab}_G(1)$, sólo tiene que seleccionar todos los elementos de $G$ que no se mueven 1. Obviamente $(1)$ e $(78)$ no se mueven 1. La primera es la identidad de permutación, y el último no se mueve 1 en todo, desde el 1 no aparece. La comprobación de las demás, se ve que se mueve 1 a 2 o de a 3.

Todos los demás son como este: completamente de la rutina de cálculo para ver si usted puede leer y entender la notación y definiciones.