Con el riesgo de ser redundante, voy a intentar dar mi respuesta, si por ninguna otra razón que para ayudarme a mí mismo. A continuación, de nuevo, la mejor gente para responder a esta pregunta son, probablemente, las personas que usan pero no exclusivamente el estudio de la asignación de los grupos de la clase.
La asignación de la clase de grupo es un grupo que se asocia a una superficie, y es cierto que se distingue entre dos superficies que están "visualmente diferente". Sin embargo, no creo que en este es donde la verdadera utilidad de la misma se encuentra. Para una cosa, es un grupo de homeomorphisms hasta equivalencia (isotopía), por lo que el estudio de la asignación de la clase nos permite decir que la homeomorphisms de dos superficies son diferentes (o al menos uno de ellos tiene "más" o diferentes relaciones entre ellos). Este no es el "mejor" uso de la asignación del grupo de clase, aunque.
Como se mencionó en mat E la respuesta de la geometría algebraica es frecuentemente interesados en el espacio de moduli, y la asignación de la clase de grupo es el grupo fundamental de un espacio de moduli. Por lo tanto, actúa de puente entre la geometría algebraica y el estudio de las superficies.
Pero lo que realmente se reduce a la asignación de la clase de grupo es un grupo de clases de isotopía de homeomorphisms y se mostrará en cualquier momento que desee para discutir homeomorphisms de una superficie y, a menudo, cuando quieras hablar de homeomorphisms de mayor dimensión y es bueno tener las propiedades de un grupo en cualquier momento usted quiere hablar acerca de homeomorphisms. Una cosa que me interesa, por ejemplo, está relacionada con homeomorphisms de una base de espacio y el espacio total de un cubriendo el espacio y la asignación de la clase de grupo se da un lenguaje para esto.
Creo que el Farb y Margalit libro hace un gran trabajo de motivación y de hecho, es lo primero que me interesó en el tema.
