(a) $N$ ser una norma Euclídea sigue directamente de (c), al menos según la definición de Wikipedia de dominio Euclídeo, que sólo requiere un par de $(q,r)$ a partir de (c) existir para cada $a,b$ con $b$ distinto de cero. Si usted tiene otra definición, por favor háganoslo saber.
(b) Para mostrar que $N(a+b)$ no puede ser limitada por cualquier función de $f(N(a),N(b))$, considere lo siguiente: Dado cualquier $n\in\mathbb{N}$, establezca $a\in k[[x]]$ por $a_i=1$ para todos los $i\in\mathbb{N}$ y definen $b\in k[[x]]$ mediante el establecimiento $b_i=-a_i=-1$ para $0\le i<n$ e $b_i=a_i=1$ para $i\ge n$. Luego, obviamente, $N(a)=N(b)=0$ e $N(a+b)=n$.
(c) Debido a que $k$ es un campo, $b\in k[[x]]$ divide $a\in k[[x]]$ fib $N(b)\le N(a)$. Para ver la dirección, el "exactamente si" parte, asumir que $b$ no divide $a$ e $N(b)\le N(a)$. Luego dividir ambos por $x^{N(b)}$ y aplicar la fórmula para el reparto de poder de la serie donde el denominador tiene invertible 0-coeficiente:
$$ c_n = \frac{1}{b_0}\left(a_n - \sum_{k=1}^n b_k c_{n-k}\right) $$
Ahora que sabemos que $N(b)>N(a)$, podemos multiplicar $b$ por cualquier potencia de la serie $q\in k[[x]]$ queremos, porque todavía $N(bq)\ge N(b) > N(a)$ y arreglarlo después, mediante el establecimiento $r=a-bq$. Tenga en cuenta que $N(r)=N(a)<N(b)$ porque $N(a)$-ésimo coeficiente de $a$ no es modificado por la resta, porque $N(b)>N(a)$.
Así que hay un número infinito de pares de $(q,r)$, y de hecho, debido a un arbitrario $q\in k[[x]]$, se puede elegir un apropiado " $r\in k[[x]]$ de manera tal que la condición se cumpla.
