Localización en series de potencia formales

Question

Vi en un libro de texto la siguiente afirmación:

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad, y $R[[X]]$ sea el anillo de series de potencias en una indeterminada $X$ . Si el homomorfismo $\phi R[[X]] \to R$ enviando $X$ a $0$ toma un ideal máximo $M$ de $R[[X]]$ a un ideal máximo $\mathfrak{m}$ en $R$ , entonces las dos localizaciones $R[[X]]_M$ y $R_{\mathfrak{m}}[[X]]$ son iguales.

Creo que este problema es algo sospechoso, y agradecería que alguien me ayudara a resolverlo. Gracias de antemano.

Answer 1

Si $X\notin M$ entonces $M+XR[[X]]=R[[X]]$ por lo que se puede escribir $1=u+Xv$ con $u\in M$ y $v\in R[[X]]$ . Si se aplica $\phi$ se obtiene $1=u(0)\in\mathfrak m$ una contradicción. Así que $X\in M$ y se puede demostrar fácilmente que $M=\mathfrak m[[X]]+XR[[X]]$ . Esto demuestra que $R[[X]]_M\subseteq R_{\mathfrak m}[[X]]$ .

Sin embargo, lo contrario es erróneo.

Dejemos que $R=\Bbb Z$ y $M=2\Bbb Z[[X]]+X\Bbb Z[[X]]$ . Obtenemos $\mathfrak m=2\Bbb Z$ . Establecer $p_0=3$ , $p_1=5$ , $p_2=7$ (números primos), y así sucesivamente. Sea $f(X)=\frac{1}{p_0}+\frac{1}{p_1}X+\cdots+\frac{1}{p_n}X^n+\cdots\in\Bbb Z_{(2)}[[X]]$ . Si $f\in\Bbb Z[[X]]_M$ existe $g\in\Bbb Z[[X]]-M$ tal que $f(X)g(X)\in\Bbb Z[[X]]$ . Escriba $g(X)=a_0+a_1X+\cdots a_nX^n+\cdots$ y veamos qué obtenemos: $a_0\in\Bbb Z-2\Bbb Z$ , $\frac{a_0}{p_0}\in\Bbb Z$ , $\frac{a_0}{p_1}+\frac{a_1}{p_0}\in\Bbb Z$ y así sucesivamente. En particular, $p_1\mid a_0$ . Paso a paso encontramos $p_n\mid a_0$ para todos $n\ge 0$ Así que $a_0=0$ una contradicción.