Valor de$\int P(z) d \bar{z}$, con$P(z)$ un polinomio

Question

Deje que$C$ sea un círculo en el plano complejo con el centro$a$ y el radio$R$. Estoy tratando de evaluar$\oint_{C} P(z) d \bar{z}$.

Si configuro$z=\bar{u}$ entonces tenemos$\bar{z}=u$ y$d\bar{z}=du$. Por lo tanto, podemos escribir$\oint_{C} P(z) d \bar{z} = \oint_{\bar{C}} P(\bar{u}) du$ donde$\bar{C}$ es un círculo con el radio$R$ y el centro$\bar{a}$. Si$P(\bar{u})$ fuera una función analítica de$u$, podría aplicar el teorema de Cauchy y obtener 0. ¿Importa que la función de conjugación no sea analítica?

Gracias por cualquier ayuda o consejos.

Answer 1

Expanda$P$ sobre$a$ como$P(z) = a_0 + a_1 (z-a) + \ldots$, y parametrice la integral con$z=a+Re^{it}$,$0\le t \le 2\pi$, para que$\bar{z} = \bar{a} + R e^{-it}$,$d\bar{z} = -iRe^{-it} dt$. Luego, la integral se convierte en$$ \begin{split}\int_0^{2\pi} & P(a+Re^{it}) (-iRe^{-it}) \, dt = -i\int_0^{2\pi} \sum_{k=0}^\infty a_k (Re^{it})^k Re^{-it}dt \\& = -i \sum_{k=0}^\infty R^{k+1} a_k \int_0^{2\pi} e^{it(k-1)}dt = -iR^2 a_1 (2\pi) = -2\pi i R^2 P'(a)\end{split},$ $, ya que todas las integrales desaparecen, excepto por$k=1$. Intercambiar la integración y las series se justifica por una convergencia uniforme. Tenga en cuenta que la serie infinita en su caso es realmente una suma finita, y que este resultado con la misma prueba se aplica al caso en que$P$ es analítico en una vecindad del disco cerrado$|z-a| \le R$.