Dado un grupo de $G$, podemos considerar el subconjunto $H$ de % de $G$ definido por: $$ H = \{ xyz : x, y, z\in G \textrm{ and } x, y, z \textrm{ are pairwise distinct}\}$$ Deje $a\in G$ ser arbitrario. Estoy interesado en la comprensión del mapa $f_a: H\to H$ definido por $$ f_a(xyz)=(xa)(ya)(za) $$ No es difícil ver que la imagen de $f_a$ se encuentra en $H$ (porque, por ejemplo, si $xa=ya$,, a continuación,$x=y$), por lo que, de hecho, $f$ está bien definido. También, podemos ver que $f_a$ es surjective: Dado cualquier $xyz\in H$, tenemos $$ f_a(xa^{-1}ya^{-1}za^{-1})=xyz$$ Así que mi pregunta es:
Es cierto que $f_a$ es siempre un bijection?
Aquí están algunos resultados parciales:
a) Si $G$ es finito (en cuyo caso $H$ es también finito), a continuación, $f_a$ es claramente bijection, como cada surjection entre conjuntos finitos es bijection.
b) Si $G$ es abelian, a continuación, $f_a$ es bijection. Esto es debido a que $f_a$ puede ser demostrado ser de inyección: Si $f_a(xyz)=f_a(x'y'z')$,, a continuación,$(xa)(ya)(za)=(x'a)(y'a)(z'a)$, y desde $G$ es abelian $xyza^{3}=x'y'za^{3}$, lo que da $xyz=x'y'z'$, como se desee.
Por lo que sigue siendo para investigar el caso al $G$ es infinito no abelian grupo.
Por cierto, me llama $H$ el "simétrica subconjunto" en el título, pero siéntase libre de editarlo si algún otro término es más apropiado.
