Demostrar que ni $A$ ni $B$ es divisible por $5$

Question

Que la suma

$$ {1+ \frac12 + \frac13 + \frac 14+ \dots +\frac1{99} + \frac 1{100}}$$

se escriba como $\frac AB$ , donde $A$ y $B$ son enteros positivos sin factores comunes. Demuestre que ninguno de los dos $A$ ni $B$ es divisible por $5$ .

---

Usando Mathematica, encontré que la suma es $$\frac AB=\frac {14466636279520351160221518043104131447711}{2788815009188499086581352357412492142272}$$

Answer 1

En primer lugar $\frac{1}{25} + \frac{1}{50} + \frac{1}{75} + \frac{1}{100} = \frac{1}{25} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{12}$ .

También $\frac{1}{25k+5} + \frac{1}{25k+10} + \frac{1}{25k+15} + \frac{1}{25k+20} = \frac{1}{5} \left( \frac{(5k+4)+(5k+1)}{(5k+1)(5k+4)} + \frac{(5k+3)+(5k+2)}{(5k+2)(5k+3)} \right)$

  $\ \ = \frac{2k+1}{(5k+1)(5k+4)} + \frac{2k+1}{(5k+2)(5k+3)}$ para cualquier número entero $k$ .

Por lo tanto, $\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k}$ no tiene ningún factor de $5$ en forma de fracción reducida.

Answer 2

He encontrado una solución para esta cuestión.

En primer lugar, dividir los números $\{1,2,\dots,100\}$ en tres conjuntos a partir de su divisibilidad por $5$ Para $k=0,1,2$ $S_k$ sean los números del conjunto $n$ entre $1$ y $100$ (ambos inclusive) tal que $k$ es la mayor potencia de $5$ que divide $n$ . Entonces, $$S_0=\{1,2,3,4,6,7,8,9,11,\dots,96,97,98,99\}$$ $$S_1=\{5,10,15,20,30,\dots,70,80,85,90,95\}$$ $$S_2=\{25,50,75,100\}$$

Ahora, dejemos que $A_k$ para $k=0,1,2$ definirse como $$A_0=100!\left(1+\frac 12+\frac 13+\frac 14+\frac 17+\dots+\frac 1{96}+\frac 1{97}+\frac 1{98}+\frac 1{99}\right)$$ $$A_1=100!\left(\frac 15+\frac 1{10}+\frac 1{15}+\frac 1{20}+\frac 1{30}+\dots+\frac 1{85}+\frac1{90}+\frac 1{95}\right)$$ $$A_2=100!\left(\frac 1{25}+\frac 1{50}+\frac 1{75}+\frac 1{100}\right)$$

Entonces, $A_0,A_1,A_2$ son todos enteros, y $$\frac AB=\frac {A_0+A_1+A_2}{100!}\tag1$$

Ahora, $$A_2=\frac {100!}{25}\left(1+\frac 12+\frac 13+\frac 14\right)=\frac {100!}{25}\times\frac {25}{12}=\frac {100!}{12}.$$

Déjalo, $power(a,b)$ denota la mayor potencia de $a$ que divide $b$ . Entonces, $$\color{blue}{power(5,A_2)=20+4=24}$$ (se puede comprobar fácilmente, ya que $\gcd(5,12)=1$ , $power(5,A_2)=power(5,100!)$ ).

Ahora, dejemos que $$N=\frac 1{5n+1}+\frac 1{5n+2}+\frac 1{5n+3}+\frac 1{5n+4}=\frac{50(2n+1)(5n^2+5n+1)}{(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)}.$$

Así, el denominador es indivisible por $5$ También $(5n^2+5n+1)$ . Por lo tanto, $power(5,N)\ge 2$ para el factor $50$ en el numerador (ya que no hay ningún múltiplo de $5$ en el denominador, $50$ nunca se anulará).

Ahora, $$A_1=\frac {100!}5\left[\left(1+\frac 12+\frac 13+\frac 14\right)+\dots+\left(\frac1{16}+\frac 1{17}+\frac 1{18}+\frac1{19}\right)\right]$$

Por lo tanto, tenemos $$\color{blue}{power(5,A_1)\ge24-1+2=25}$$

De la misma manera, $$A_0=100!\left[\left(1+\frac12+\frac13+\frac14\right)+\dots+\left(\frac 1{96}+\frac 1{97}+\frac 1{98}+\frac 1{99}\right)\right]$$

Así que, $$\color{blue}{power(5,A_0)\ge24+2=26}$$

De los tres $\color{blue}{emphasized}$ consecuencias, podemos decir que $$\color{red}{power(5,A_0+A_1+A_2)=24}$$ (uno puede sentirse confundido aquí, pero antes dije $power(5,A_0)\ge24+2=26$ y $power(5,A_1)\ge24-1+2=25$ , tenga en cuenta que si una mayor potencia de $5$ que $24$ divide una cantidad, entonces la potencia $24$ también divide esa cantidad).

Déjalo, $\frac {A'}{B'}$ sea la fracción antes de su reducción a $\frac AB$ en $(1)$

Así, desde $(1)$ podemos decir que $$\color{red}{power(5,A')=24}$$

Además, desde $(1)$ , $$\color{red}{power(5,B')=power(5,100!)=24}$$

Así, el numerador y el denominador son divisibles por la misma potencia de $5$ .

Así, cuando los factores comunes, especialmente $5^{24}$ se anulan, entonces $A$ y $B$ ambos son indivisibles por $5$ .