¿Se puede utilizar la fórmula de reflexión de Euler para calcular $\Gamma (1/3)$ ?

Question

Puede Fórmula de reflexión de Euler para calcular $\Gamma (1/3)$ ? (Es decir, expresar en alguna forma cerrada.) Al intentar aplicarlo, siempre caigo en un bucle.

Answer 1

Aunque la fórmula de reflexión de Euler es satisfecha por la función gamma:

$$ \Gamma(x) \Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin \pi x}, \;\; \forall x \not\in \mathbb{Z} $$

y esto es suficiente para determinar $\pm\;\Gamma(\frac{1}{2})$ no define todos los valores de la función $\Gamma(x)$ . En particular, hay muchas funciones que satisfacen la fórmula de reflexión anterior, pero que tienen valores diferentes en $x=\frac{1}{3}$ .

Uno ve fácilmente que el establecimiento $x=\frac{1}{2}$ en la fórmula de reflexión nos da $\Gamma(\frac{1}{2})^2 = \frac{\pi}{1}$ Así que $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ si sabemos que este valor es positivo (se deduce del definición integral de la función gamma ).

Sin embargo, considere cualquier base real positiva $a \gt 0$ y definir $f_a(x) = a^{x - \frac{1}{2}}$ .

Entonces $f_a(x) f_a(1-x) = a^0 = 1$ y se comprueba fácilmente que $f_a(x) \Gamma(x)$ satisfará la fórmula de reflexión de Euler para los números no enteros $x$ . Al variar $a$ podemos obtener cualquier valor positivo para $f_a(\frac{1}{3}) \Gamma(\frac{1}{3})$ que nos gusta.

Obsérvese también que sustituyendo $-\Gamma(x)$ para $\Gamma(x)$ en la fórmula de reflexión deja el producto $\Gamma(x) \Gamma(1-x)$ sin cambios, por lo que esta es otra demostración de que la fórmula de reflexión por sí sola no define la función gamma.

La definición integral de $\Gamma(\frac{1}{3})$ puede dar aproximaciones precisas como explica el enlace del comentario de Raymond Manzoni, y el comentario de Grigory M que te remite a la Wikipedia debería proporcionar aproximaciones más rápidas de este número trascendental .