¿Existe una función generadora para $\sqrt{n}$ ?

Question

He tratado de encontrar una forma cerrada para la función generadora ordinaria de la secuencia $\{\sqrt{n}\}_0^{\infty}$ pero no pude. ¿Hay alguna manera de derivarlo usando la relación de recurrencia $$a_{n+1} = \sqrt{a_n^2+1}. $$ Porque si lo hay, no es obvio para mí cómo hacerlo.

He observado que la tarea es trivial si utilizamos una función generadora de series de Dirichelt, a saber $\zeta(s-\frac{1}{2})$ pero esto me parece menos interesante que tener una forma cerrada para la ogf o quizás incluso la función generadora exponencial.

Answer 1

Sí existe, se define como $g(z) = \sum_{n \ge 0} \sqrt{n} z^n$ . Es incluso una función agradable, en el sentido de que es analítica en una región alrededor del origen (aplique su prueba favorita). Sin embargo, no tiene una representación en términos de funciones elementales.

Answer 2

Podrías intentar utilizar las fórmulas integrales para integrales fraccionarias y derivadas fraccionarias (es decir, como derivadas de medio peso de la función potencia; ver por ejemplo semi-derivados ) en la teoría del cálculo fraccionario para expresar una función generadora para esta secuencia. Nótese que la función generadora resultante no será, sin embargo, "''bonita''" en el sentido de que sea P-recursivo .