Creo que este problema es de Gallian, el profesor no pudo resolverlo. Note que ambos polinomios no tienen raíces. Intenté construir un homomorfismo sobre$\varphi:\mathbb{Z}_5[x]\to\mathbb{Z}_5/(x^2+x+2)$ cuyo kernel es$(x^2+x+1)$. El intento más obvio es$\varphi(f(x))=a(x)f(x)$, pero como los cuadráticos son relativamente primos, no hay una forma natural de hacerlo. ¿Algunas ideas?
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Lubin
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Bien, $x^2+x+1$ tiene para sus raíces primitivas raíces cúbicas de la unidad. Así que para conseguir un isomorfismo desde el campo de $\Bbb F_5[x]/(x^2+x+1)=k$ para el campo $\Bbb F_5[t]/(t^2+t+2)=\ell$, usted tiene que encontrar una raíz cúbica de la unidad en la $\ell$, se $\beta$. Luego de su isomorfismo tarda $\bar x$ (en el anillo cociente $k$) a $\beta\in\ell$.
En un relativamente nivel filosófico, este problema interesante muestra de por qué no es "el campo" de la con $25$ elementos: cualquiera de los dos son isomorfos, sí, pero usted tiene que construir el isomorfismo, sobre todo, como aquí, donde no hay preferencia isomorfismo mirando en la cara.
JSX
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62
Queremos mostrar que$\mathbb{Z}_5[x]/(x^2+x+1) \equiv \mathbb{Z}_5[y]/(y^2+y+1)$. Supongamos que$x \rightarrow ay+b$, considere dónde se asigna a$x^2$ para \begin{eqnarray*} 4a+2b&=&4 \\ b^2+3a^2&=&4b+4 \end {eqnarray *} y por inspección esto tiene la solución$a=3,b=1$. Se puede verificar que$x \rightarrow 3y+1$ asigna$x^2+x+1$ a cero (a la luz de$y^2+y+2=0$).
