resolver

Question

Me piden que resuelva$\tan{x} = \tan{3x}$

Aquí está mi intento :

$$\tan{x} = \tan{3x}$ $$$\tan{x} = \tan{(x + 2x)}$ $$$\tan{x} = \frac{\tan{x} + \tan{2x}}{1-\tan{x}\tan{2x}}$ $

Recordemos la identidad:$$\tan{2x} = \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}$ $

Entonces tenemos:$$\tan{x} = \frac{\tan{x} + \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}}{1-\tan{x}\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}}$ $$$\tan{x} - \tan^2{(x)} \cdot \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}} = \tan{x} + \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}$ $$$-\tan^2{(x)} \cdot \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}} = \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}$ $$$-\tan^2{x} \cdot \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}} \cdot \frac{1-\tan^2{x}}{2\tan{x}} = 1$ $$$\tan^2{x} = -1$ $

Esto, obviamente, no computa. ¿Por qué está mal mi camino y cómo puedo resolverlo?

Answer 1

¿Por qué intentas hacer las cosas más complejas de lo que son? Formalmente,

\begin{align*}\tan x=\tan 3x&\iff 3x\equiv x\mod \pi \\ &\iff 2x\equiv0\mod \pi \iff x\equiv 0\mod\frac\pi2. \end{align*}

Sin embargo,$\tan x$ se define si y solo si$x\not\equiv\dfrac\pi2\mod\pi$, por lo que las soluciones efectivas son$$x\equiv 0\mod \pi.$ $

Answer 2

Al llegar a $$ -\bronceado^2x \frac{2\tan x}{1-\bronceado^2x} = \frac{2\tan x}{1-\bronceado^2x} $$ no se puede multiplicar ambos lados por $\frac{1-\tan^2x}{2\tan x}$, debido a que esta operación sólo se permite cuando el multiplicador es distinto de cero.

Deberías mover todo a la mano derecha y recoger los términos, llegar $$ 0=\frac{2\tan x}{1-\bronceado^2x}(\bronceado^2x+1) $$ Desde $\tan^2x+1\ne0$, se obtiene $$ \tan x=0 $$ y por lo $x=k\pi$.

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También se puede observar que $\tan3x=\tan x$ significa $$ 3x=x+k\pi $$ así $$ x=k\frac{\pi}{2} $$ siempre $\tan x$ e $\tan3x$ existe, que no es el caso cuando se $k$ es impar. Por lo tanto las soluciones son $x=(2h)\frac{\pi}{2}=h\pi$ ($h$ entero).

Answer 3

Obviamente, no puede cancelar en el último paso (o uno anterior al último, de hecho), por lo que debe tener

PS

Answer 4

Su prueba está bien hasta

$-\tan^2{(x)}(\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}) = \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}$

Entonces haces$-\tan^2{x} \cdot (\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}) \cdot (\frac{1-\tan^2{x}}{2\tan{x}}) = 1$.

Pero solo puedes hacerlo si$\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}} \ne 0$.

Así que tienes que decir:

"Supongamos$\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}\ne 0$ entonces

"$-\tan^2{x} \cdot (\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}) \cdot (\frac{1-\tan^2{x}}{2\tan{x}}) = 1$

"$-\tan^2{x} = 1$.

"Pero esto es imposible.

"Asi que $\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}} = 0$"

Y sigue desde allí:

"Asi que $\tan x = \sin x/\cos x = 0$.

"Asi que $x = k\pi$".

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O puedes anotar$tan z = tan x \iff z = x + k\pi$.

Tan tan tan $3x = x + k\pi$. Pero$2x = k\pi$ impar no está definido, así que$x = \frac k 2 \pi$ par o, en otras palabras,$\tan \frac k 2 \pi; k$.

Answer 5

Cuando tienes esta: $$-\tan^2{x} \cdot \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}} = \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}$$

Es incorrecto tienen este siguiente: $$-\tan^2{x} \cdot \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}} \cdot \frac{1-\tan^2{x}}{2\tan{x}} = 1$$

Al igual que cuando usted tiene (por ejemplo) $3 \cdot 2x = x$, es incorrecto, a continuación, divide ambos lados por $x$ y terminar con $6 = 1$ (se pierde la solución de $x = 0$ al hacer esto).

El correcto el siguiente paso es restar $\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$ desde ambos lados y continuar como sigue:

\begin{align} -\tan^2{x} \cdot \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}} &= \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}\\[0.3cm] -\tan^2{x} \cdot \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}} - \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}} &= 0\\[0.3cm] \frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}} \left(-\tan^2 x - 1\right) &= 0 \end{align} Ahí tenemos las dos ecuaciones siguientes: $$\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x} = 0 \qquad \text{or} \qquad -\tan^2 x - 1 = 0$$

La primera ecuación es trivial. La segunda es quizás aún más porque la segunda no tiene soluciones.