$f(x)$ absolutamente continuo$\implies e^{f(x)}$ absolutamente continuo, para$x \in [a,b]$?

Question

Si$f(x)$ es absolutamente continuo (ac) en [a, b], ¿la función$e^{f(x)}$ también es absolutamente continua en [a, b]?

Gracias

Answer 1

Es verdad. Supongamos que$g$ es Lipschitz con el rango$L$ en$[a,b]$, y$f$ es AC. Entonces$g \circ f$ también es AC.

Para ver esto, suponga que$f$ es AC y deje$\epsilon>0$. Elija$\delta>0$ de modo que si$(y_k,x_k)$ es una colección finita de intervalos de separación pareados en$[a,b]$ con$\sum |y_k-x_k| < \delta$, entonces$\sum |f(y_k)-f(x_k)| < \frac{\epsilon}{L}$.

Ahora considere$\sum |g \circ f(y_k)-g \circ f(x_k)| = \sum |g(f(y_k))-g ( f(x_k))| \leq L \sum |f(y_k)-f(x_k)| < \epsilon$. Por lo tanto,$g \circ f$ es AC.

Como$x \mapsto e^x$ es suave, es Lipschitz en cualquier intervalo compacto, por lo tanto, la función$ x \mapsto e^{f(x)}$ es AC.