Polinomio mínimo de$\theta^2$

Question

Estoy haciendo esta pregunta de la teoría de Galois:

Se sabe que$f = x^3 + x + 3$ es irreductible y tiene solo una raíz real, llámelo$\theta$.

¿Cuál es el polinomio mínimo para$\theta^2$? ¿Es solo$f$?

Answer 1

El polinomio mínimo de$\theta^2$ debe tener un grado máximo de$3$.

Por lo tanto, debemos buscar una ecuación lineal para$1, \theta^2, \theta^4, \theta^6$.

$\theta^3 = -\theta-3$ implica$\theta^4= -\theta^2-3\theta$ y$\theta^6= \theta^2+6\theta+9$. Asi que $\theta^6+2\theta^4=-\theta^2+9$.

Una forma sistemática de refinar esta relación es resolver un sistema lineal$Ax=0$, donde las columnas de$A$ son las coordenadas de$1, \theta^2, \theta^4, \theta^6$ en la base$1, \theta, \theta^2$.

Answer 2

Hay otra forma sistemática de hacer esto, involucrando a la Norma. Deje$R=\Bbb Q[X]$ y mire$S=R[\theta]/(\theta^3+\theta+3)$, y la Norma de$S$ a$R$. Puede calcular la Norma de un elemento$z$ mirando el$R$ - mapa lineal$w\mapsto zw$ y calculando su determinante. Es solo un$3\times3$ con coeficientes en$R$, no está nada mal para hacer.

Pero la Norma de$X-\theta^2$ es claramente un polinomio cúbico en$R=\Bbb Q[X]$ que tiene$\theta^2$ para una raíz. En este caso, es irreductible y el cálculo da$-9 + X + 2X^2 + X^3$.