Problema de combinatoria problema de 25 estudiantes.

Question

Una clase con 25 estudiantes, 15 mujeres y 10 hombres. Un comité estará formado por 3 alumnos, un presidente, un vice presidente y gerente de relaciones públicas. Cuántos comité mixto se pueden formar? Así, lo que me hizo, hay 15 mujeres y 10 hombres, así que 15*10 ,y habrá dejado de 23 estudiantes, entonces hay 3! lugares para ellos, por lo 15*10*23*3!

Creo que esto iba a funcionar, sin embargo, es equivocado, otra solución es(haciendo por los casos): $$ 15*(^{10}A_2)*3 + 10*(^{15}A_2)*3 $$ Notación: $$^nA_p=^nP_p $$ Son el número de acuerdos/permutaciones.

La simplificación de su respuesta, se obtiene: $$15*10*9*3 + 10*15*14*3 = 15*10*3(9+14)=15*10*23*3$$ Bueno, la diferencia es que ellos tienen 3 pero tengo 3!, lo que está mal con mi respuesta? ¿Por qué tengo que dividir por dos?

Answer 1

Dicen que los hombres son $M_1,M_2,...,M_{10}$ y las mujeres se $W_1,W_2,...W_{15}$. A continuación, en su método, si elegimos una mujer en primer lugar, decir $W_1$, luego un hombre, decir $M_1$, luego de que el resto de $23$, supongamos que hemos elegido $M_2$. Y luego nos permutar con $3!$ por lo que no es importante el orden en el que hemos elegido tres miembros. Pero tenga en cuenta que si elegimos $W_1$ como antes como mujer y $M_2$ como el hombre de este tiempo, y $M_1$ desde el resto de $23$ estudiantes, permuting ellos nos dará el mismo comité, lo que resulta en overcounting.

En general, si elegimos $W_i$ e $M_j$ primero y, a continuación, $W_k$, este comité puede ser formado en exactamente $2$ maneras en su método, porque podemos elegir $W_i$ primer y $W_k$ o $W_k$ primera $W_i$ tercera. Esto también es válido para $M_k$ por lo que es realmente válido para todos los comités formados en su método. Por lo tanto, estamos contando cada caso exactamente dos veces. Por eso su respuesta es dos veces la respuesta correcta.

Answer 2

Tras aclarar que estamos hablando de un triple, a continuación, estos pueden ser de 1M de 2W o 2M de 1W.
A continuación, pueden ser permutados cada uno en $3!$ formas, por lo tanto un total de $12$ si la identidad no importa.

Por el contrario, Si la gente de la identidad de los asuntos, en el primer caso, usted puede seleccionar los miembros en $\binom{10}{1} \cdot \binom{15}{2}$, en el segundo en $\binom{10}{2} \cdot \binom{15}{1}$, y permutar las funciones.
es decir, $3! (\binom{10}{1} \cdot \binom{15}{2}+\binom{10}{2} \cdot \binom{15}{1})= 10350$

Answer 3

Así, lo que me hizo, hay 15 mujeres y 10 hombres, así que 15*10, y habrá dejado de 23 estudiantes ...

En este paso usted cometió un error:

Lo que se hace aquí es la formación del comité haciendo tres pasos:

1. Elegir una de las 15 mujeres (digamos Jane Doe, en inglés)
2. Elegir uno de los 10 hombres (digamos John Doe, en inglés)
3. Elije uno de los restantes 23 estudiantes (digamos que Joe Bloggs)

Sin embargo, también podría haber escogido a Joe Bloggs en el segundo paso y Juan pérez en el tercer paso.

Esto significa que usted conseguirá cada posible conjunto de tres personas, dos veces al coger las tres personas de esta manera.

Por lo tanto, no sólo se $\frac{1}{2}*15*10*23$ grupos de tres personas, no 15*10*23.

Bueno, la diferencia es que ellos tienen 3 pero tengo 3!

Cuando las personas en el comité tienen diferentes tareas, es correcto para multiplicar el número de conjuntos de personas con 3! (y no 3) para obtener el número de posibles diferentes comités.

Esto llevará a la siguiente resultado:

$(\frac{1}{2}*15*10*23)*(3!) = \frac{1}{2}*15*10*23*(3!) = 15*10*23*\frac{1}{2}*6 = 15*10*23*3$

Answer 4

Supongamos que seleccionas una mujer, la llamas A y un hombre, llámalo B, luego la tercera persona, llámalos C. ¡Cuando multiplicas por 3 !, formas cada permutación posible de A, B, C.

Ahora suponga que selecciona, sin pérdida de generalidad, C, luego B, luego A. Cuando multiplica este triplete por 3, está formando la misma colección de comités.

Como estás contando doble, necesitas dividir por 2.