Ejemplo de una métrica b fuerte que no es una métrica.

Question

Definición: Deje $X$ ser un conjunto arbitrario, $d:X\times X\to [0,\infty)$ ser una asignación satisfactoria:

(a) $\forall_{x,y\in X}\; d(x,y)=0\iff x=y$;

(b) $\forall_{x,y\in X}\; d(x,y)=d(y,x)$;

(c) $\exists_{s\geq 1}\;\forall_{x,y,z\in X}\; d(x,y)\leq d(y,z)+sd(x,z)$.

A continuación, $d$ se llama un fuerte b-métrica y $(X,d)$ se llama un fuerte b-espacio métrico.

Naturalmente, cada espacio métrico es un fuerte b-espacio métrico como cumple (c) con $s=1$ (el clásico triángulo de la desigualdad).

Hay ejemplos naturales de fuerte b-métricas de espacios que no son de métrica espacios? Tenga en cuenta que cada conjunto finito $X$ equipado con una asignación de $d$ cumplimiento (a) y (b), se cumple (c) así. Por lo tanto, estamos interesados en los ejemplos en un conjunto infinito $X$.

Answer 1

Como se reconoce por Calvin Khor en los comentarios, uno tiene $$d(x,y) \le \frac{s+1}{2}(d(x,z)+d(z,y)).$$ Así, tenemos un cuasi-métrica. No estoy seguro de que, si se utiliza este nombre en el caso de la métrica de los espacios. Sin embargo de normas, este es un concepto bien conocido, llamado quasinorm. Por ejemplo, los espacios de $L^p(\mu)$ e $l^p$ para $p \in (0,1)$ son cuasi-normativa de los espacios y hasta cuasi-banachspaces. Mucho más simple que uno puede tomar $d(x,y) = |x-y|^n$ a $\mathbb{R}$ para obtener un ejemplo sencillo.

Sin embargo, no hay ejemplos de b-métricas de espacios que no son espacios métricos. La prueba no es muy complicado, vea el documento Sobre las Macías-Segovia Metrization de cuasi-métrica espacios por R. Aimar, B. Iaffei , L. Nitti, publicado en la Revista de la Unión Matemática Argentina 41(2) (1998).