Probar$F[x]/(x^n)$ es un módulo inyectivo

Question

Deje $F$ ser un campo y $n\geq1$

(1) Demostrar $R=F[x]/(x^n)$ es un inyectiva $R$-módulo.

(2) Dar una resolución proyectiva y una inyectiva resolución de la $R$-submódulo $M=(x)/(x^n)$

Para la parte (1), sé que por Baer criterio, es suficiente para mostrar todos los ideales $(x^k)/(x^n)\ $ ($k\leq n$) que la inclusión

$$\iota:(x^k)/(x^n)\to F[x]/(x^n)$$ ha dejado inversa. Pero no sé cómo construir uno. He comprobado que $\iota(x^k+(x^n))$ tiene la forma $$\iota(x^k)+(x^n)=a_kx^k+a_{k+1}x^{k+1}+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+(x^n),\quad a_k\neq0$$ y trató de trabajar desde allí.

Para la parte (2) no tengo ni idea.

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias de antemano!

Answer 1

La expansión de la $R\to R$ puede ser construido mediante la asignación de $1$ a $a_k+a_{k+1}x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1-k}$ (y creo k no necesita dividir n).

La resolución proyectiva es una serie de $R$'s y los mapas son la multiplicación de $x$ e $x^{n-1}$ alternativamente, terminando por $x$ del ideal. $\require{AMScd}$ \begin{CD} ... @>x^{n-1}>> R@>x>>R@>x^{n-1}>>R@>x>>\mathcal{a} \end{CD} El inyectiva uno es similar, y comenzar por la inclusión.

Answer 2

Mi favorito de la prueba que (1) utiliza el espacio vectorial dualidad $D:=\mathrm{Hom}_F(-,F)$. Es fácil ver que un finito dimensionales $R$-módulo de $X$ es proyectiva (respectivamente invectivas) si y sólo si $D(X)$ es inyectiva (respectivamente proyectiva).

Ahora, considere el mapa $$ \tau \in D(R), \quad a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1} \mapsto a_{n-1}. $$ A continuación, $\tau$ induce un isomorfismo de $R$-módulos de $R\xrightarrow\sim D(R)$, $1\mapsto\tau$. Pues es claro que $R$ es proyectiva, vemos que también es inyectiva. De hecho, esto demuestra que $R$ es un álgebra simétrica.

Para (2) se puede construir una secuencia exacta $$ 0 \to M \to R \xrightarrow{f} R \to M \to 0, $$ donde $f\colon 1\mapsto x^{n-1}$. Este es entonces el inicio de una resolución proyectiva de $M$, y un inyectiva coresolution. Desde que se repite, podemos continuar esto en cualquier dirección para obtener la totalidad de la (co-)de resolución.