Cómo mostrar \int_0^1 \left(\sqrt[3]{1-x^7}-\sqrt[7]{1-x^3}\right)\;dx = 0$ $

Question

Evaluar la integral: $ \int_0^1 \left(\sqrt[3]{1-x^7}-\sqrt[7]{1-x^3}\right)\;dx$$

La respuesta es $0, $ pero soy incapaz de conseguirlo. Hay cierta simetría que no puedo ver.

Answer 1

Vamos $m, n > 0$. Luego de observar que $$ \int_{0}^{1} \sqrt[n]{1-x^m} \; dx$$ es el área de la región determinada por las desigualdades $$ 0 \leq x \leq 1 \quad \text{y} \quad 0 \leq y \leq \sqrt[n]{1-x^m}.$$ Pero la última desigualdad es equivalente a $0 \leq x^m + y^n \leq 1$. Así $$ \int_{0}^{1} \sqrt[n]{1-x^m} \; dx = [\text{Área dada por} \ 0 \leq x^m + y^n \leq 1, \ 0 \leq x, y \leq 1 ]$$ Así, intercambiando el papel de la $x$ y $y$, tenemos $$ \int_{0}^{1} \sqrt[n]{1-x^m} \; dx = \int_{0}^{1} \sqrt[m]{1-x^n} \; dx.$$

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Por supuesto, nos puede dar una puramente analítica de enfoque. Deja $ $ y = \sqrt[3]{1 - x^7}$. Entonces $x = \sqrt[7]{1 - y^3}$ y por lo tanto a través de la integración por sustitución, $$\begin{align*} \int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 - x^7} \; dx &= \int_{0}^{1} y(x) \; dx \\ &= \int_{1}^{0} y \; dx(y) \\ y= [y x(y)]_{1}^{0} - \int_{1}^{0} x(y) \; dy \\ &= \int_{0}^{1} \sqrt[7]{1 - y^3} \; dy. \end{align*}$$

Answer 2

Otra forma de hacerlo es utilizar $\beta$-function

$ \mathrm{\beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t) ^ \,dt,\quad {y-1} {Re}(x),{Re(y)} > 0. $$

$$ \int_0^1 \sqrt[3]{1-x^7} \mathrm dx = u \frac{1}{7}\int_0^1 ^ {-6/7}(1-u) ^ dx de \mathrm {1/3} = \dots\,. $$

Ahora, usted puede terminar el problema.