W_t ^ 3 martingale o no? Dos argumentos me desconciertan.

Question

Quiero estudiar si $W_t^3$ es una martingala o no? donde $W_t$ es el estándar de movimiento Browniano.

Me han método 1 argumento, pero yo también tengo un segundo argumento que implica una conclusión diferente. Por favor ayudarme a entender.

Método 1: Utilizando la fórmula de Ito, tenemos $$W_t^3 = \int_0^t 3 W_s^2~d W_s + \int_0^t 3 W_s~ds$$ El primer término en el lado derecho es un Ito integral, por lo tanto una martingala. Considerar el segundo término, el aviso de que un proceso estocástico $(X_t)_{t\geq 0}$ es martingala si y sólo si para cualquier delimitada tiempo de parada de las $\tau$, tenemos $$\mathbf{E}(X_\tau)=0$$ De vuelta al segundo término, $$\mathbf{E}\Big( \int_0^\tau W_s~ds \Big)=\int_0^T\mathbf{E}(W_{s\wedge \tau})~ds~=~0$$ donde $T$ es de un número finito de acotamiento para $\tau$. Por lo tanto hemos demostrado que la $\int_0^t 3 W_s~ds$ también es una martingala. Esto le da a ese $W_t^3$ es una martingala.

Método 2: Deje $\tau$ ser el primero existente en tiempo de $W_t$ del intervalo de $[-1, 2]$, luego de opcional teorema de muestreo, sabemos $\mathbf{P}(W_\tau = -1) = {2\over 3},~~\mathbf{P}(W_\tau = 2) = {1\over 3}$. Supongamos $(W_t^3)_{t\geq 0}$ también es una martingala, entonces debemos tener $\mathbf{E}(W_\tau^3) = 0$. Sin embargo, el cálculo, la $$\mathbf{E}(W_\tau^3) = (-1)\times {2\over 3} + 8\times {1\over 3} \neq 0.$$ This contradiction implies that $W_t^3$ no es una martingala.

Por favor me ayude a averiguar lo que está mal con los argumentos.

Answer 1

No es una martingala. Básicamente, un proceso de variación acotada nunca puede ser un tiempo continuo de la martingala (a menos que sea constante), por lo que de forma intuitiva se puede ver de inmediato que $W_t^3$ no es una martingala debido a la limitada variación de la parte de la Ito de descomposición no se desvanezca.

El error en su razonamiento está aquí:

$$\mathbf{E}\Big( \int_0^\tau W_s~ds \Big)=\int_0^T\mathbf{E}(W_{s\wedge \tau})~ds$$

Esto no es cierto. Lo cierto es que $$\mathbf{E}\int_0^\tau W_s\,ds = \int_0^T \mathbf{E}[W_s 1_{\{s \le \tau\}}]\,ds$$ pero el integrando en el lado derecho no es lo mismo que $W_{s \wedge \tau}$, que cuando se $s > \tau$ rendimientos $W_\tau$, no $0$. Y no hay ninguna razón por $E[W_s 1_{\{s \le \tau\}}]$ debe ser igual a cero.

Su razonamiento en el Método 2 es correcta.