El núcleo de un homomorfismo

Question

" El núcleo es importante porque controla todo el homomorfismo. Nos dice no sólo qué elementos de G son mapeados a la identidad en G', sino también qué pares de elementos tienen la misma imagen en G'. "(Tomado de Álgebra por Artin).

¿Cómo nos dice el núcleo qué pares de elementos tienen la misma imagen en G'?

Lo que he probado:

dejar $f$ sea un homomorfismo tal que $f(a) = f(b) = c$ . $c$ está en $G'$ , por lo que tiene un inverso $c^{-1}$ . Así que entonces, $c^{-1}f(a) = c^{-1}f(b) = cc^{-1} = 1$ .

Pero, esto es tedioso de calcular, y no utilicé el núcleo para hacerlo.

Answer 1

La cuestión es que $f(a)=f(b)$ si y sólo si $ab^{-1}\in \ker f$ . Por lo tanto, si ha comprobado de antemano que $\ker f=\{e\}$ entonces $f(a)=f(b)$ implica automáticamente que $a=b$ lo que significa que $f$ es inyectiva. Y también funciona al revés, si $f$ es inyectiva, entonces $\ker f=\{e\}$ porque $f(a)=e =f(e)$ implica $a=e$ .

Answer 2

Si $c$ pertenece a la imagen, entonces hay un $g_0\in G$ tal que $f(g_0)=c$ . Pero entonces $$\{g\in G\mid f(g)=c\}=\{g_0h\mid h\in\ker f\}.$$