Topología en el conjunto de mapas de$A$ a$B$

Question

Deje $B$ ser un conjunto no vacío equipado con la topología discreta, y deje $A$ ser un conjunto infinito. A continuación, $B^A$ es el conjunto de todas las funciones $f:A\to B$.

Tengo que comprobar algunas propiedades elementales de los productos de la topología $B^A$ hereda:

Demostrar que $U\subset B^A$ es abrir el fib para todos los $f\in U$ existe un número finito de $E\subset A$ tal que todos los mapas $g:A\to B$ con $g|_E=f|_E$ pertenecen a $U$.

No sé cómo comprobar esto.. Sé que debo pensar de $B^A$ como $\prod_{a\in A}B_a$ donde $B_a=B$ son copias de $B$ para todos los $a\in A$. La base abierta conjuntos, a continuación, $\prod_{a\in A}U_a$ donde $U_a=B_a$ para todos, pero un número finito de $a$. Desde $B$ tiene el discreto topología de la $U_a$ que no $B_a$ puede ser un subconjunto arbitrario de $B$. A continuación, el abierto de los conjuntos de los sindicatos de la base abierta conjuntos.

Pero, ¿cómo este me dan la declaración? Alguien puede proporcionar alguna ayuda?

Answer 1

Deje $\pi_a: B^A \to B$ ser el mapa definido por $\pi_a(f)=f(a) \in B$. (estas son sólo las proyecciones si usted lo mira como un producto Cartesiano.) El producto de la topología en $B^A$ es el más pequeño de la topología que hace que todos los $\pi_a, a \in A$ continua, lo que significa que (por el estándar de hechos acerca de subbases y bases) que una base para su subconjuntos está dada por todas las intersecciones finitas de la forma $\pi_a^{-1}[\{b\}]$, con $a \in A$ e $b \in B$ (como todos los $\{b\}$, $b \in B$ formar una base para la topología discreta en $B$). Así que un subconjunto abierto básicos es de la forma

$$[a_1, a_2, \ldots, a_n; b_1, b_2, \ldots b_n] := \bigcap_{i=1}^n \pi_{a_i}^{-1}[\{b_i\}] = \{f: A \to B: \forall i \in \{1, \ldots n\}: f(a_i)= b_i\}$$

donde, $n \in \mathbb{N}$ e las $a_i$ e $b_i$ son elementos de $A$ resp. $B$.

Ahora si $U$ es abierto y $f \in U$, por lo tanto, debe tener algo de $[a_1, a_2, \ldots, a_n; b_1, b_2, \ldots b_n]$ tal que $$f \in [a_1, a_2, \ldots, a_n; b_1, b_2, \ldots b_n] \subseteq U$$

por el hecho de que $U$ es una unión de open básica de conjuntos. Y ahora si $g=f$ en el conjunto finito $E:= \{a_1,\ldots,a_n\}$ significa exactamente eso $g \in [a_1, a_2, \ldots, a_n; b_1, b_2, \ldots b_n]$ y así en $U$ así.

El reverso es muy similar: si $U$ es un conjunto y para cada una de las $f$ podemos encontrar un subconjunto finito $E$ entonces, si $E=\{a_1,\ldots, a_m\}$, tenemos $f \in U(f):= [a_1, a_2, \ldots a_m; f(a_1), \ldots f(a_m)]$ y la condición asegura que si $g \in U(f)$ entonces $g=f$ a $E$ e lo $g \in U$, por lo tanto $f \in U(f) \subseteq U$ e lo $U$ está abierto. (Todos los $f$ en que son los puntos del interior).

Answer 2

Deje $U\subseteq B^A$ ser abierto, y $f\in U$.
Entonces existe una base abra $V\subseteq U$ con $f\in V$.
Ahora vamos a $E$ ser el conjunto finito de índices de $i\in A$ tal que $\pi_i(V)\ne B$, donde $\pi_i:B^A\to B$ es el $i$th proyección (es decir, la evaluación en $i$).

Si $g|_E=f|_E$, a continuación, $\pi_i(V)=B$ para todos los $i\notin E$ implica $g\in V$.

Por el contrario, si para cada $f\in U$, hay un número finito de $E\subset A$, entonces el conjunto $V_f:=\{g\in B^A: g|E=f|E\}$ es una base de conjunto abierto, y $f\in V_f\subseteq U$, lo $U=\bigcup_{f\in U} V_f$ está abierto.