Tomando un número natural diferente de cero como un caso base en una prueba inductiva

Question

El principio de inducción matemática establece que si un subconjunto $S$ de un conjunto sucesor $\omega$ también es un conjunto sucesor, entonces $S=\omega$. En términos primitivos, se formula como:

si $S \subset \omega$, si $0 \in S$, y si $n^+ \in S$ siempre que $n \in S$, entonces $S=\omega$.

Ahora, me pregunto qué pasaría si quiero probar que una afirmación se cumple para números que comienzan desde $b \in \omega$ por ejemplo. ¿Sería correcto introducir

1. un conjunto $L$ que contenga todos los números naturales que satisfagan la afirmación

2. una función $s: \omega \to \omega, s(n) = n^+$

3. una función $r: \omega \to \omega, \begin{cases} r(0) = b\\ r(n^+) = s(r(n))\\ \end{cases}$

4. un conjunto $S$ que contenga todos los números naturales para los cuales $r(n)\in L$

y demostrar que $0$, $n$ y $n^+$ están en $S$? Porque no puedo simplemente comenzar a probar inductivamente desde $b$ y decir que se cumple para todos los números que comienzan desde $b$, ya que el principio de inducción claramente establece que $0$ también tiene que estar en $S$. Así que, introduzco un truco, es decir, un mapeo para realizar la inducción.

¿Es correcto hacerlo de esta manera? Si no, ¿cómo mostrar formalmente que puedo comenzar desde cualquier número?

Answer 1

Puedes generalizar el principio de inducción de las siguientes maneras:

"Para todo $ b \in \omega $: si $ S \subset \omega $, si $ b \in S $, y si $ n^+ \in S $ siempre que $ n \in S $, entonces $ S=\{ n \in \omega | n \geq b \} $."

Otra opción es usar el principio tal como está y demostrar la base y el paso para la propiedad $ P(n) $ definida como $ n \geq b \to P'(n) $, donde $ P'(n) $ es la propiedad 'real' en la que estás interesado, es decir, la propiedad que deseas demostrar que todos los números $ n \geq b $ tienen. Esto funciona, ya que $ P(n) $ será trivialmente verdadero para todos los $ n < b $.