Cómo crear una ecuación cúbica que incluya las sumas de las raíces de otra ecuación cúbica

Question

La ecuación cúbica

$$y^3 - y^2 - 4y + 3 = 0$$

tiene soluciones reales $y_1$ , $y_2$ y $y_3$ . Cómo puedo crear otra ecuación cúbica con coeficientes enteros que tenga soluciones: $y_1 + y_2$ , $y_1 + y_3$ y $y_2 + y_3$ ?

A primera vista, parecía que aplicar las fórmulas de Viète y los polinomios simétricos iba a ser útil, pero a medida que iba trabajando, me perdía un poco a la hora de crear otra ecuación cúbica.

Ya he resuelto las soluciones sin usar las fórmulas de Viète y todas son irracionales... He escrito las siguientes igualdades para ayudar al problema:

\begin{align} y_1 + y-2 + y_3 &= 1\\ y_1y_2 + y_1y_3 + y_2y_3 &= -4\\ y_1y_2y_3 &= -3 \end{align}

Las deduje de las fórmulas de Viète pero no sé muy bien cómo aplicarlas para resolver el problema. He investigado un poco más y he encontrado que los polinomios simétricos elementales también son útiles para este tipo de cuestiones. En general, me gustaría saber cómo se pueden aplicar las fórmulas de Viète y los teoremas relativos a los polinomios elementales/simétricos para resolver este problema, ya que estos conceptos son bastante nuevos para mí.

He visto un problema como este en este sitio, pero incluye encontrar polinomios donde las raíces están aisladas a una sola de las raíces de la ecuación original (es decir, son $\frac1{a_1}$ , $\frac1{a_2}$ , $\frac1{a_3}$ en lugar de $\frac1{a_1} + \frac1{a_2}$ etc.) Se agradecería mucho si alguien pudiera ayudarme con este problema.

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Actualización : Creo que he resuelto para $p$ : $$y_1 + y_2 + y_3 + y_1 + y_2 + y_3 = 2$$ Por lo tanto, $p = -2$ ? Sin embargo, todavía estoy perplejo sobre cómo resolver para $r$ y $q$ ...

Answer 1

Por la fórmula de Vieta, sabemos que $y_1+y_2+y_3 = 1$ . Así que estamos buscando la cúbica cuyas raíces son $1-y_1$ , $1-y_2$ , $1-y_3$ . Esto se consigue haciendo la simple sustitución (observando que la función inversa de $1-x$ es ella misma): $$f(1-y) = (1-y)^3 - (1-y)^2 - 4(1-y) + 3 = -y^3 + 2y^2 + 3y - 1.$$

Al negar esto para que sea monico se obtiene $y^3 - 2y^2 - 3y + 1$ como en la respuesta de Tob Ernack.

Answer 2

Como ha mencionado, sabe que $$y_1 + y_2 + y_3 = 1$$ $$y_1y_2 + y_1y_3 + y_2y_3 = -4$$ $$y_1y_2y_3 = -3$$

Para encontrar un polinomio $x^3 - ax^2 + bx - c$ cuyas raíces son $y_1 + y_2, y_1 + y_3$ y $y_2 + y_3$ , se pueden utilizar las fórmulas de Vieta en términos de polinomios simétricos elementales de estas raíces. Es decir, se quiere calcular:

$$a = (y_1 + y_2) + (y_1 + y_3) + (y_2 + y_3)$$ $$b = (y_1 + y_2)(y_1 + y_3) + (y_1 + y_2)(y_2 + y_3) + (y_1 + y_3)(y_2 + y_3)$$ $$c = (y_1 + y_2)(y_1 + y_3)(y_2 + y_3)$$

La primera es fácil de encontrar, es igual a $a = 2(y_1 + y_2 + y_3) = 2$ .

Los cálculos para $b$ y $c$ son más tediosas, pero son polinomios simétricos en $y_1, y_2$ y $y_3$ por lo que se pueden expresar en términos de polinomios simétricos elementales (y por tanto en términos de valores conocidos) utilizando algo como Algoritmo de Gauss .

En nuestro caso tenemos $b = (y_1+y_2+y_3)^2 + (y_1y_2 + y_1y_3 + y_2y_3) = -3$ y tenemos $c = (y_1 + y_2 + y_3)(y_1y_2 + y_1y_3 + y_2y_3) - y_1y_2y_3 = -1$ .

Así que el polinomio $x^3 - 2x^2 - 3x + 1$ debería tener las raíces correctas, asumiendo que mis cálculos son correctos.