Este es un problema del examen Putnam de 1985:
Determinar, con pruebas, el número de triples ordenados $(A_1, A_2, A_3)$ de conjuntos con
(i) $A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},$ y
(ii) $A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \emptyset.$
Exprese su respuesta en la forma $2^a3^b5^c7^d$ con $a,b,c,d$ siendo enteros no negativos.
Mi prueba:
La primera condición dice que cada número entero entre $1$ y $10$ inclusivo aparece en al menos uno de los tres conjuntos. La segunda condición establece que ningún número entero entre $1$ y $10$ incluso aparece en los tres conjuntos al mismo tiempo. Estas condiciones conducen a seis posibles colocaciones de cada uno de los enteros $1$ a través de $10.$ A saber:
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$n \in A_1$ y $n \notin A_2$ y $n \notin A_3$
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$n \notin A_1$ y $n \in A_2$ y $n \notin A_3$
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$n \notin A_1$ y $n \notin A_2$ y $n \in A_3$
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$n \in A_1$ y $n \in A_2$ y $n \notin A_3$
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$n \in A_1$ y $n \notin A_2$ y $n \in A_3$
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$n \notin A_1$ y $n \in A_2$ y $n \in A_3$
donde los tres primeros casos surgen de que n esté en uno solo de los conjuntos, los tres últimos surgen de que n esté en dos, y n es cualquier número entero entre $1$ y $10$ inclusive. Debemos elegir una de estas condiciones para cada número entero $1$ a través de $10$ para asegurarse de que cada número aparece en la unión. Esto nos lleva a $6^{10}$ posibilidades. Escribiendo esto en la forma deseada, obtenemos $2^{10}3^{10}5^07^0$ .
He probado diferentes combinaciones y todos los resultados parecen satisfacer las condiciones, pero mi preocupación es que esto parece ser demasiado simple, y me preocupa que me esté perdiendo algo. Por favor, hágame saber si estoy, pero con SÓLO CONSEJOS por favor. Y si no se me escapa nada, por favor, dígame si esto constituye una prueba rigurosa, o si hay una forma alternativa de abordar este problema.
Gracias
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Es un A1. No debería sorprenderse si hay una solución sencilla.
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En efecto, es así de sencillo.
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Muchas gracias a todos por los comentarios.