Prueba: si$|x-y|<1/n$ para cada$n$% natural entonces$x=y$

Question

Es realmente básico, pero estoy tratando de probar: $$ \ forall x, y \ in \ mathbb {R}. (\ Forall n \ in \ mathbb {N}. | Xy | <\ frac {1} {n} \ Rightarrow x = y) $$

Traté de probarlo demostrando que si$$A= \left\{ \frac{1}{n} \ \middle| \ n\in\mathbb{N} \right\}$ $ entonces el$$\operatorname{inf}(A) =0$ $ pero no pude encontrar una manera de usar esto después de que lo probé. Desafortunadamente, no se me permite usar límites aquí.

Answer 1

Supongamos que$x\neq y$, entonces$$\vert{x-y}\vert>0$ $ por la propiedad arquimediana de$\mathbb{R}$ existe$n\in\mathbb{N}$ de tal manera que:$$n\vert{x-y}\vert>z,\quad \forall z\in\mathbb{R}\ \text{with}\ z>0$ $ toma en particular$z=1$, así que existe$m\in\mathbb{N}$ tal que:$$m\vert{x-y}\vert>1$ $ que da$$\vert{x-y}\vert>\frac{1}{m}$ $ esto es una contradicción.

Answer 2

Si$x\ne y$ entonces$|x-y|=d>0$

Como$\frac{1}{n}\to 0$ cuando$n\to\infty$, entonces para cualquier$d>0$, existe un índice$n\in\mathbb{N}$ tal que$|x-y|<\dfrac{1}{n}<d$.

Esto es una contradicción. Por lo tanto debe ser$x=y$.

Espero que esto ayude

Answer 3

Deje que$x$ y$y$ sean dos números reales distintos con$y \lt x$. Luego, existen números racionales$p$ y$q$ que satisfacen$y \lt p \lt q \lt x$. Si$n$ es un denominador común para$p$ y$q$, entonces$|q - p| \ge 1/n$. Pero entonces, por supuesto,$|x - y| \ge 1/n$.

Answer 4

Tenemos:

PS

El teorema de compresión arroja que$$\forall n \in \mathbb{N}: 0 \leq |x-y| < \frac{1}{n}$, o equivalente$|x-y| = 0$

EDIT: Acabo de ver que no podías usar los límites. Dejaré esta respuesta de todos modos, ya que podría ayudar a otros interesados en la misma pregunta.

Answer 5

$z:=x-y;$$x,y$ real.

$0 \le |z| \lt 1/n$ para $n \in \mathbb{Z^+}$.

Cada$1/n$,$n \in \mathbb{Z^+}$, es un límite superior para$|z|$.

$A:= $ {$1/n$,$n \in \mathbb{Z^+}$}.

$\inf (A):= 0;$

$\rightarrow:$

$0 \le |z| \le \inf (A) =0.$

Por lo tanto,$z = 0$.

Demostramos que$\inf (A) =0.$

$0$ es un límite inferior para$A$:

Supongamos que hay un límite inferior$L$, real, de$A$ con$L>0$, es decir,

$0 \lt L \le 1/n , n \in \mathbb{Z^+}.$

Hay un$ n_0 > 1/L .$ (Arquímedes).

Entonces : $0< 1/n_0 < L.$

Contradicción,

por lo tanto$\inf(A) =0.$