Demostrando que $\frac{\pi}{2}=\prod_{k=2}^{\infty}\left(1+\frac{(-1)^{(p_{k}-1)/2}}{p_{k}} \right )^{-1}$ una identidad de Euler ' s.

Question

Se trata de otra identidad de Euler relativas $\pi$ a los números primeros, disponible aquí
$$\begin{align*} \dfrac{\pi}{2}=\prod_{k=2}^{\infty}\left(1+\dfrac{(-1)^{\dfrac{p_{{k}}-1}{2}}}{p_{k}} \right )^{-1} \end{align*}$$

¿Cómo uno probar?

Answer 1

1. Descomponer el producto en el derecho como $$\prod_{\text{primes}\; p\\ \text{ of the form }4k+1}\left(1+\frac{1}{p}\right)\prod_{\text{primes}\; p\\ \text{ of the form }4k+3}\left(1-\frac{1}{p}\right)$$
2. Considere la posibilidad de un entero impar $n=2m+1$. Es "fácil de ver" que si los números primos de la forma $4k+3$ aparecen en su primer número de la descomposición de un número par de veces, luego de lo $n$ es de la forma $4K+1$ [desde $(4k_1+3)(4k_2+3)=1\; \mathrm{mod}\;4$]. Si el número de apariciones es impar, entonces $n$ es de la forma $4K+3$.
3. Reescribir el lado derecho como $$\left[\prod_{\mathrm{odd}\;\mathrm{primes}\; p}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)\right]^{-1}\times\frac{1}{\left[\prod_{p\\ \text{ of the form }4k+1}\left(1-\frac{1}{p}\right)\prod_{p\\ \text{ of the form }4k+3}\left(1+\frac{1}{p}\right)\right]^{-1}}\qquad\tag{1}$$ Expandiendo el primer factor en la serie geométrica, nos encontramos con $$A=\left[\prod_{\mathrm{odd}\;\mathrm{primes}\; p}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)\right]^{-1}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$$
4. Del mismo modo reexpanding el denominador de la 2nd factor (1), tenemos $$B=\left[\prod_{p\\ \text{ of the form }4k+1}\left(1-\frac{1}{p}\right)\prod_{p\\ \text{ of the form }4k+3}\left(1+\frac{1}{p}\right)\right]^{-1}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{r(m)}}{2m+1},$$ donde $r(m)$ cuenta el número de apariciones de números primos de la forma $4k+3$ en la descomposición de la $2m+1$. Pero luego el Paso 2 permite escribir $(-1)^{r(m)}=(-1)^m$, por lo que $$B=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2m+1}=\frac{\pi}{4}$$ y $\displaystyle \frac{A}{B}=\frac{\pi^2/8}{\pi/4}=\frac{\pi}{2}$. $\blacksquare$