¿Hay modelos elementalmente equivalentes$\mathcal{M}, \mathcal{N}$ de la misma cardinalidad, ninguno de los dos puede incrustarse elementalmente en el otro?

Question

¿Existen elementarily de los modelos equivalentes $\mathcal{M}, \mathcal{N}$ de la cardinalidad $\kappa=\omega$ tal que no puede ser elementarily incrustado en el otro?

Si los modelos no estaban obligados a ser de la cardinalidad $\omega$, entonces uno podría considerar modelos de la teoría de las 3 clases de equivalencia, donde cada clase tiene que ser infinito: $\mathcal{M}$ tendría su dominio $M = M_1 \sqcup M_2 \sqcup M_3$ e $dom(\mathcal{N})=N_1 \sqcup N_2 \sqcup N_3$ donde $M_1, M_2, M_3, N_1, N_2, N_3$ son clases de equivalencia de sus respectivas cardinalidades $\omega_1, \omega_1, \omega_2, \omega_0, \omega_2, \omega_2$. Debido a la incompatibilidad cardinalidades, no hay ninguna incrustación de $\mathcal{M}$ a $\mathcal{N}$ o viceversa. Por lo tanto, esta es la respuesta a mi pregunta para la cardinalidad $\kappa \gt \omega_1$. Para $\kappa=\omega_1$ uno podría usar una táctica similar con clases de equivalencia más de dos relaciones y la incompatibilidad de las cardinalidades $\omega_0, \omega_1$. Pero, ¿qué acerca de la cardinalidad $\kappa=\omega_0$?

Answer 1

El idioma contiene un símbolo de relación$<$ y las constantes$a_i,b_i$ para$i\in\omega$. Considere dos modelos, ambos con el dominio$\mathbb Q$ y la interpretación natural de$<$. En ambos modelos$b_{i+1}<b_i<a_i<a_{i+1}$. En el primer modelo$a_i\to+\infty$ y$b_i\to-1$ en el segundo modelo$a_i\to+1$ y$b_i\to-\infty$.

Por eliminación del cuantificador los dos modelos son equivalentes elementales. Claramente, no se incrustan entre sí.

Answer 2

Sugerencia: considere los modelos de la teoría lineal de pedidos, donde cada elemento tiene un sucesor y predecesor y su cociente por el (indefinido) relación de equivalencia $x\sim y$ fib hay un número finito de elementos entre $x$ e $y$.

Para demostrar que la teoría es completa, yo creo que si se añaden símbolos para (definible) sucesor y predecesor funciones, debe tener la eliminación de cuantificadores, y fácilmente se deduce que es completa; como alternativa, puede utilizar Ehrenfeucht-Fraisse juegos para ese fin.